小波變換公式詳解

小波變換是一種在時間和頻率上都能體現出局部性質的數學變換方法。其變換函數是小波函數，通過不同尺度和平移得到。小波變換公式如下：


&#x03C8 ;(a, b) = &#x2211 ;cj &#x03C8 ;(j, k)

其中，a和b為平移和尺度係數，&#x03C8 ;(a, b)為小波基函數，cj為小波係數。下面將從離散小波變換公式，小波變換公式推導，小波變換公式及意義等多個方面對小波變換公式進行詳細闡述。

小波變換在處理實際數據時，一般採用離散小波變換（DWT）。其公式為：


&#x03C8 ;j,k = (1/√2^j)∑_n=0^{(2^j-1-1)}h[n] x[2^jn-k]
+ (1/√2^j)∑_n=0^{(2^j-1</sup)-1g[n] x[2^jn-k]}

其中，j為變換尺度，k為變換位置，x[n]為原始數據，h、g分別為低頻和高頻小波濾波器係數，&#x03C8 ;j,k為小波係數。該公式中將原數據分為兩個部分，一個為低頻，一個為高頻，並對其進行變換。

小波變換公式的推導過程較為複雜，下面簡單介紹一下。

首先將連續信號x(t)進行一次平移（a,b），再進行縮放，得到一個新信號y1(a,b)。平移和縮放公式如下：


y1(a,b) = x(t)u((t-a)/b)

其中u(t)為單位階躍函數。接下來，將上述信號y1(a,b)分解成高頻和低頻分量，公式如下：


g(t) = K∐k ak/2 &#x03C8 ;(t-ak) (k為整數)
h(t) = K∐k (-1)^kak/2&#x03C8 ;(t-ak) (k為整數)

其中&#x03C8 ;(t)為小波正交基。

將上述步驟組合起來，便得到了小波變換公式。小波變換公式將原始數據分解成多個尺度和多個平移位置的小波基，同時得到了相應的小波係數，這些係數在信號分析和處理中非常重要，可以用於信號壓縮、濾波、去噪等方面。

在小波變換中，Ws被稱為可見小波係數，它代表了原信號中能夠被表示出來的小波係數個數。在實際處理中，選擇合適的Ws值對於信號分析處理非常重要。可以通過試錯法或者其他方法得到合適的Ws值。

小波變換的公式為：


F(a,b) = ∑_t=−^∞^∞f(t) ψ*_a,b(t)

其中，f(t)為原信號，ψ*_a,b(t)為小波基函數。

對於小波基函數，需要滿足兩點要求：一是正交，即不同尺度和平移的小波基之間是正交的；二是緊支，即小波基函數非零部分的長度是有限的。

另外，在實際處理中也需要考慮小波基函數的選擇，一般常用的小波基函數有哈爾小波、Daubechies小波、Coiflets小波等。

小波變換是一種局部性分析工具，它將信號不同尺度和平移的重要信息提取出來，並將其轉化為時頻變換域中的係數。這種局部性質和多尺度分析的特點使得小波變換在信號處理領域得到了廣泛應用。

小波變換在圖像融合方面也有應用。其基本思路是針對兩幅待融合圖像進行小波變換，將其分解成不同尺度和平移位置的小波係數，然後將相應的小波係數進行融合，得到新的小波係數，最後通過逆小波變換得到融合後的圖像。

小波變換的基本原理是通過不同尺度和平移的小波基函數對信號進行分解和重構，以達到信號分析和處理的目的。在實際處理中，選擇適合的小波基函數對於提高處理效果和準確度非常重要。

以上就是小波變換公式的詳細闡述，希望對讀者有所幫助。

原創文章，作者：小藍，如若轉載，請註明出處：https://www.506064.com/zh-hk/n/283205.html