yalmip：求解算法工具箱

yalmip是什麼？它是一個用於求解數學問題的Matlab工具箱，其中的「yalmip」一詞代表了「YALM」（Yet Another LMI Matlab Toolbox）和「IP」（Interior-Point algorithm）這兩個概念的組合。它的應用範圍非常廣泛，包括但不限於優化、控制、信號處理、通信、計算機視覺以及機器學習等方面。通過本文，我們將會深入探討yalmip在不同方面的應用。

一、yalmip可以用if函數嗎

yalmip可以使用if函數，其代碼示例如下：

x = sdpvar(1);
y = sdpvar(1);
F = [x >= y, if_else(x+y = 0, -x-y <= 0)];
optimize(F);

上述代碼中，定義了兩個sdp變量（請注意，sdpvar與Matlab的常規變量不同），並使用if_else構造約束條件。if_else是yalmip的內置函數，它將一個條件作為第一個參數，條件為真時返回第二個參數，否則返回第三個參數。在本示例中，條件是「x+y =0」；否則（即條件為假），約束條件為「-x-y<=0」。這表明，在滿足某些條件時，yalmip可以使用if函數來構造其約束條件。

二、yalmip求解約束條件有m選取

在yalmip中，在給定一組可能的約束條件時，根據需要選擇任意數量的限制條件可以通過使用「m選n」來實現，其中m是可能的約束條件的數量，n是需要選擇的約束條件的數量。我們可以使用「binvar」函數定義二進制變量來表示特定的約束是否選中。下面我們來看一個例子：

% create variable
x = sdpvar(1);
y = sdpvar(1);

% create constraints
F1 = [x >= 0, y >= 0, y = 0, y >= 0, y <= 1-x/2];

% define binary variables
b1 = binvar(1);
b2 = binvar(1);

% define constraint with selection of multiple constraints
F = [[F1, -b1 <= 0], [F2, -b2 <= 0], [b1 + b2 == 1]];
optimize(F);

% check which constraints are selected
selected_constrains = [];
if value(b1) == 1
    selected_constrains = [selected_constrains, 'F1'];
end
if value(b2) == 1
    selected_constrains = [selected_constrains, 'F2'];
end
disp(['Selected constraints: ', strjoin(selected_constrains, ', ')]);

上述代碼中，我們定義了兩個約束條件F1和F2，然後定義了兩個二進制變量b1和b2，這意味着我們最多可以選擇一個約束條件。最後，我們將所有的約束條件合併到一起，並將其優化。最後，我們使用「value()」函數來檢查哪些約束條件被選擇。

三、yalmip求解一個混合整數規劃問題

在yalmip中，可以使用intvar函數定義整數變量並將混合整數線性規劃（MILP）問題轉換為線性規劃（LP）問題。對於這種情況，yalmip為我們提供了一種稱為「Branch and Bound」的特殊求解器，用於在MILP問題中查找特定的最小或最大值。

% define variables
x = intvar(1,2);
y = sdpvar(1);

% define objective function, constraints
F = [x(1) + x(2) + y <= 10, x(1) - x(2) <= 5];
obj = -x(1) + x(2) + y;

% solve MILP problem
options = sdpsettings('solver','bnb');
optimize(F, obj, options);

% display optimized values
disp(['Optimal value: ' num2str(value(obj))]);
disp(['Optimal x(1): ' num2str(value(x(1)))]);
disp(['Optimal x(2): ' num2str(value(x(2)))]);

上述代碼中，我們定義了兩個整數變量和一個SDP變量，然後定義了一個目標函數（也稱為優化函數）和一組約束條件。最後，在使用「sdpsettings()」函數定義選項對象時，我們將其參數設置為「bnb」，這將告訴yalmip使用Branch and Bound方法來解決MILP問題。最後，我們顯示最佳解及其相關變量。

四、yalmip如何解決二次規劃問題

在yalmip中，可以定義奇異半正定變量（如x），然後將它們作為變量來使用，而不必在代碼中顯式解出它們。這使得它可以自動探測到確切的問題形式，從而選擇最佳求解器。以下是一個例子：

% define variables
x = sdpvar(2,1);

% define objective function, constraints
Q = [4, 1; 1, 2];
F = [x'*Q*x <= 1, sum(x) <= 1];

% solve QP problem
optimize(F,sum(x.^2));

% display optimized values
disp(['Optimal value: ' num2str(value(sum(x.^2)))]);
disp(['Optimal x(1): ' num2str(value(x(1)))]);
disp(['Optimal x(2): ' num2str(value(x(2)))]);

上述代碼中，我們定義了一個2×1的SDP變量，將其用作變量，並定義了一個目標函數和一組約束條件。在這個例子中，因為x’*Q*x是一個二次項，所以yalmip會自動識別這是一個二次規劃問題，並使用內置的二次規劃求解器優化問題。最後，我們顯示最佳解及其相關變量。

五、yalmip如何處理非線性約束

在yalmip中，如果我們需要處理非線性約束，我們可以使用「sdpfun()」函數，該函數可以將Matlab中的函數作為約束條件向量（請注意，這個函數必須是「凸函數」，在控制系統中又稱為「Laurent函數」）。以下是一個例子：

% define variables
x = sdpvar(1);
y = sdpvar(1);

% define objective function, constraints
F = [y^3 + x^3 <= x^2 - y^2, 0 <= x <= 1];
obj = x-y;

% solve nonlinear problem
optimize(F, obj);

% display optimized values
disp(['Optimal value: ' num2str(value(obj))]);
disp(['Optimal x: ' num2str(value(x))]);
disp(['Optimal y: ' num2str(value(y))]);

上述代碼中，我們定義了兩個SDP變量並定義了一個目標函數和非線性約束條件。注意，這裡我們使用求解器來處理這些非線性約束條件（本例中使用Ipopt求解器），而不需要手動解決這些條件。最後，我們將最佳解及其相關變量的值顯示出來。

通過本文，我們已經了解了yalmip的各種應用。yalmip提供了一個靈活、高效、強大、易用和準確的框架，可以讓我們輕鬆地解決各種複雜的數學問題。