Gumbel分佈

一、介紹

Gumbel分佈是極值分佈的一種，適用於描述極端事件的概率分佈。它也被稱為極大值分佈(more extreme value distribution)或者Frechet分佈。

Gumbel分佈是由瑞士數學家Emil Gumbel於1954年提出的，在現代科學工程學中得到了廣泛的應用，比如用於建築工程中極端風及地震引起的破壞力的分析、水文學中洪水的頻率分析等。在機器學習中，Gumbel分佈被用來進行採樣和近似梯度計算。

二、概率密度函數

一個隨機變量X服從Gumbel分佈，它的概率密度函數為：

f(x) = \frac{1}{\beta}e^{-(z+e^{-z})} 
z = \frac{x - \mu}{\beta}

其中，$\mu$是位置參數，$\beta$是尺度參數，注意當$\beta=1$時，z可以簡寫成(x-$\mu$)。

以下是Python代碼示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def gumbel(x, mu, beta):
    z = (x-mu)/beta
    return np.exp(-(z + np.exp(-z))) / beta

x = np.linspace(0, 10, 100)
y = gumbel(x, 5, 1)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Probability density")
plt.title("Gumbel distribution, mu=5, beta=1")
plt.show()

三、分佈特性

1. 期望和方差

Gumbel分佈的期望和方差分別為：

E(X) = \mu + \beta \gamma
Var(X) = \frac{\pi^2}{6} \beta^2

其中，$\gamma$是歐拉常數(0.5772…)，也就是：

import scipy.special as sp
sp.euler_gamma   # 0.5772156649015329

2. 生成隨機數

可以使用numpy的gumbel()函數生成Gumbel分佈的隨機數，基本用法如下：

import numpy as np
mu = 5
beta = 1
sample = np.random.gumbel(mu, beta, 1000)

其中，mu和beta分別是位置參數和尺度參數，1000是生成的隨機數個數。

3. 模擬採樣

使用Gumbel分佈進行採樣的方法通常稱為Gumbel-softmax trick，可以用於生成離散空間中的採樣，比如深度學習中的softmax採樣。

基本思路是先從Gumbel分佈中採樣出兩個隨機數，然後將採樣概率分佈取exponential()值，最後做歸一化，即可得到softmax分佈中的採樣。

以下是Python代碼示例：

def gumbel_sample(logits, temperature):
    noise = np.random.gumbel(size=logits.shape)
    y = (logits + noise) / temperature
    return np.exp(y) / np.sum(np.exp(y), axis=-1, keepdims=True)

logits = np.array([2.0, 1.0, 0.5])
t = 1.0
samples = gumbel_sample(logits, t)
print(samples)   # [0.535, 0.272, 0.193]

四、小結

本文介紹了Gumbel分佈的概念、概率密度函數、期望和方差、隨機數生成方法以及在模擬採樣中的應用。Gumbel分佈作為極值分佈的一種，有着廣泛的應用場景，特別是在科學工程學和機器學習中。