Linear Interpolation：插值法

一、Scipy中的linear interpolation

Python中的Scipy模塊中包含了用於插值的工具，而其中的Linear Interpolation（線性插值）是最基本的一種插值方法。它可以根據已知數據點之間的直線，用於確定其它數據點的輸出值。實際應用中，這種方法可以被用於反演、數據分類、圖像處理、等值線繪製等多個領域。

from scipy.interpolate import interp1d
import numpy as np

x = np.linspace(0, 10, num=11, endpoint=True)
y = np.cos(-x**2/9.0)
f = interp1d(x, y)

xnew = np.linspace(0, 10, num=41, endpoint=True)
ynew = f(xnew)

此部分代碼定義了輸入數據x和y的插值函數f，並使用linspace函數對數據進行分配。接下來，我們將生成一個新的、更密集的點陣xnew，並使用f來計算每個點的輸出值。下面將介紹線性插值的幾個方面。

二、線性插值的原理

可以使用Scipy中的interp1d函數來創建插值函數對象。這裡，已知數據點之間的數據線被用於計算在兩點之間的點的數值預測：

f = interp1d(x, y)

這以後，我們可以通過這個函數調用計算其它的輸出值：

ynew = f(xnew)

這個線性插值的過程可以用下面的公式來表示：

xnew = a + (b−a)×(x−min(x))/(max(x) - min(x))
ynew = f(a) + (f(b) - f(a))×(xnew - a)/(b - a)

這裡a和b分別代表x的最小值和最大值。

三、線性插值的步驟

線性插值一般包含以下三個主要的步驟：

1.確定點的個數和位置

用來進行線性插值的輸入數據包含兩個向量：x和y。x中包含了已知的點的位置，而y中則包含對應的數值。

2.創建線性插值函數

在Scipy中，interp1d函數被用於創建線性插值函數。這個函數可以通過在已知的點的上下界上產生超出範圍的新點，來對輸出的值進行計算。

3.計算新的輸出值

創建了插值函數之後，我們可以使用這個函數來計算新的輸出值。需要注意的是，在使用interp1d函數創建插值函數時，我們需要聲明一個邊緣條件：

• 下降：最低點位於x中最後一個區間之外，輸出將會等於x所在區間中的最後一個數據點的值。
• 上漲：最高點位於x中最後一個區間之外，輸出將會等於x所在區間中的第一份數據點的值。
• 邊界值可以使用fill_value關鍵字參數來設置為一個或多個值。如果fill_value=’extrapolate’，那麼這個函數會根據最後一個或第一個已知值的斜率來擴展範圍。

f = interp1d(x, y, kind='linear', fill_value="extrapolate")
xnew = np.linspace(x.min(), x.max(), num=500, endpoint=True)
ynew = f(xnew)

四、使用方法

在隨機生成的數據點上，使用線性插值來計算新的x值：

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d

x = np.linspace(0, 1, num=10, endpoint=True)
y = np.random.rand(10)
f = interp1d(x, y)
xnew = np.linspace(0, 1, num=50, endpoint=True)
ynew = f(xnew)

如果想要繪製這個插值函數，可以使用matplotlib圖形庫：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y, 'o', xnew, ynew, '-')
plt.show()

下面將繪製一個圖，其中插值函數為縮稿的1維連續函數：

五、總結

線性插值是一種基礎的插值方式，可以被用於多種領域，如圖像處理、反演等。在Python中，我們可以使用Scipy模塊中的interp1d函數來進行線性插值的計算，需要注意的是在使用過程中，邊緣情況的處理。線性插值是數學建模中的重要工具，求解數學問題時可以適用它，大大方便問題的解決。