pymc3介紹

基於Python進行貝葉斯概率編程和模型構建的pymc3是一個強大的工具。它是一個完全可擴展、開源和高效的概率編程工具，可用於處理各種貝葉斯模型。本文將從多個方面對pymc3進行詳細的闡述。

一、安裝和基本使用

首先介紹pymc3的安裝和基本使用。安裝pymc3非常簡單，只需在命令提示符或終端中鍵入以下命令即可：

!pip install pymc3

pymc3的基本使用如下所示：

import numpy as np
import pymc3 as pm

with pm.Model() as model:
    # 定義先驗分佈
    p = pm.Uniform('p', lower=0, upper=1)
    
    # 定義似然函數
    y = pm.Bernoulli('y', p=p, observed=[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1])
    
    # 採樣
    trace = pm.sample(1000, tune=500)

在上面的代碼中，我們首先導入模塊並定義了一個模型，然後在其中定義了先驗分佈和似然函數。接着我們使用了pymc3的採樣函數sample()來得到後驗樣本。這裡的採樣方法使用的是NUTS（No U-Turn Sampler）方法。

二、常用概率分佈的建模

隨着概率編程技術的發展，概率編程已經成為應對數據分析和建模問題的有效方法。pymc3支持多種常用的概率分佈模型，這些模型都涉及到不同的概率分佈。下面我們將介紹一些常用的概率分佈，例如正態分佈、伽馬分佈、指數分佈等，並給出對應的代碼實現。

（1）正態分佈：

import numpy as np
import pymc3 as pm

with pm.Model() as model:
    μ = pm.Normal('μ', mu=0, sigma=1)
    σ = pm.Uniform('σ', lower=0, upper=10)
    y = pm.Normal('y', mu=μ, sigma=σ, observed=[1, 2, 3])
    
    trace = pm.sample(1000)

（2）伽馬分佈：

import numpy as np
import pymc3 as pm

with pm.Model() as model:
    α = pm.Gamma('α', alpha=2, beta=2)
    β = pm.Uniform('β', lower=0, upper=10)
    y = pm.Gamma('y', alpha=α, beta=β, observed=[1, 2, 3])
    
    trace = pm.sample(1000)

（3）指數分佈：

import numpy as np
import pymc3 as pm

with pm.Model() as model:
    λ = pm.Exponential('λ', lam=1)
    y = pm.Exponential('y', lam=λ, observed=[1, 2, 3])
    
    trace = pm.sample(1000)

三、建模技巧

在實際建模過程中，pymc3有一些技巧可以用來提高建模效果。下面我們將介紹一些實用的建模技巧。

（1）用多個不同的模型進行比較：

通常情況下，建模過程中可能會使用多個不同的模型進行比較。在pymc3中我們可以使用waic()函數來比較模型效果。

import numpy as np
import pymc3 as pm

data = np.random.normal(0, 1, size=100)

with pm.Model() as model1:
    μ = pm.Normal('μ', mu=0, sigma=1)
    y = pm.Normal('y', mu=μ, sigma=1, observed=data)
    trace1 = pm.sample(1000)

with pm.Model() as model2:
    μ = pm.Normal('μ', mu=0, sigma=10)
    y = pm.Normal('y', mu=μ, sigma=1, observed=data)
    trace2 = pm.sample(1000)

waic1 = pm.waic(trace1, model1)
waic2 = pm.waic(trace2, model2)
print(waic1.waic, waic2.waic)

（2）使用分層模型：

分層模型是一種特殊的建模方式，通過將數據分成不同的層級來構建模型。具體來說，我們可以將數據分為多個子集，然後在每個子集中構建一個具有相似參數的模型。

在下面的例子中，我們對每個網格的溫度進行建模，並將每個網格的參數設置為隨機效應，以模擬網格之間的變化。

import pandas as pd
import pymc3 as pm

data = pd.read_csv('temperature.csv')

with pm.Model() as model:
    μ = pm.Normal('μ', mu=0, sigma=1)
    τ = pm.HalfCauchy('τ', beta=1)
    α = pm.Normal('α', mu=μ, sigma=τ, shape=len(data['grid'].unique()))
    y = pm.Normal('y', mu=α[data['grid']], sigma=1, observed=data['temperature'])
    trace = pm.sample(1000)

四、高級應用

pymc3還支持一些高級的應用，例如變量轉換、多項式回歸、GP回歸等。下面我們將介紹一些高級的應用。

（1）變量轉換：

變量轉換是一種將數值轉換為可用於建模的形式的方法。在pymc3中，我們可以使用Theano的函數來進行變量轉換。

import numpy as np
import pymc3 as pm

with pm.Model() as model:
    x = pm.Beta('x', alpha=1, beta=1)
    y = pm.Deterministic('y', pm.math.log(x / (1 - x)))
    trace = pm.sample(1000)

（2）多項式回歸：

多項式回歸是一種常用的預測建模方法。在pymc3中，我們可以使用Theano模塊的polynomial()函數來進行多項式回歸。

import numpy as np
import pymc3 as pm
import theano.tensor as tt

x = np.linspace(0, 1, num=100)
y = 2 * x**2 + 0.5 * x + 0.2 + np.random.normal(0, 0.1, size=100)

with pm.Model() as model:
    β0 = pm.Normal('β0', mu=0, sigma=1)
    β1 = pm.Normal('β1', mu=0, sigma=1)
    β2 = pm.Normal('β2', mu=0, sigma=1)
    σ = pm.Uniform('σ', lower=0, upper=1)
    y_obs = pm.Normal('y_obs', mu=tt.polynomial([x, x**2], [β1, β2, β0]), sigma=σ, observed=y)
    trace = pm.sample(1000)

（3）GP回歸：

高斯過程（Gaussian Process，GP）是一種非常有用的回歸方法，可以應用於大量實際問題。在pymc3中，我們可以使用Theano模塊的gp函數來進行GP回歸。

import numpy as np
import pymc3 as pm
import theano.tensor as tt

x = np.linspace(0, 1, num=100)
y = 2 * np.sin(6 * np.pi * x) + np.random.normal(0, 0.1, size=100)

with pm.Model() as model:
    ℓ = pm.Gamma("ℓ", alpha=2, beta=1)
    η = pm.Gamma("η", alpha=2, beta=1)
    cov = η**2 * pm.gp.cov.ExpQuad(1, ℓ)
    gp = pm.gp.Marginal(cov_func=cov)
    y_obs = gp.marginal_likelihood("y_obs", X=x[:, None], y=y, noise=0.1)
    trace = pm.sample(1000)

五、總結

本文介紹了pymc3的基本用法和常用概率分佈的建模方法，並介紹了一些實用的建模技巧和高級應用程序。pymc3是一個強大而靈活的概率編程工具，可以應對各種數據建模和分析問題。