泊松分佈的期望和方差

一、什麼是泊松分佈

泊松分佈是一種離散概率分佈，用於描述在一定時間內某個事件發生的次數。

泊松分佈的概率密度函數為：

  P(X=k)=  e^(-λ)*λ^k/k!    (k=0,1,2,...)

其中，λ是事件在單位時間內平均發生次數，k表示實際發生的次數。

二、泊松分佈的期望

泊松分佈的期望為λ，表示在單位時間內事件的平均發生次數。

證明：

  E(X)=∑(k=0,∞) k * P(X=k)
      =∑(k=1,∞) k * P(X=k)     //當k=0時，k乘以概率為0，故從1開始求和
      =∑(k=1,∞) k * e^(-λ) * λ^k / k!
      =λ * e^(-λ) * ∑(k=1,∞) [λ^(k-1) / (k-1)!]
      =λ * e^(-λ) * e^λ
      =λ

三、泊松分佈的方差

泊松分佈的方差為λ，與期望相等。

證明：

  Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2
        =∑(k=0,∞) k^2 * P(X=k) - λ^2    // 使用期望的計算公式
        =∑(k=1,∞) k^2 * P(X=k)
        =∑(k=1,∞) k * k * e^(-λ) * λ^k / k!
        =λ * e^(-λ) * ∑(k=1,∞) [(k-1+1) * λ^(k-1) / (k-1)!]
        =λ * e^(-λ) * [∑(k=1,∞) [(k-1) * λ^(k-1) / (k-1)!] + ∑(k=1,∞) [λ^k / (k-1)!]]
        =λ * e^(-λ) * [λ * ∑(k=0,∞) [(λ^k) / k!] + e^λ]
        =λ * e^(-λ) * [λ * e^λ + e^λ]
        =λ * (λ+1)
        =λ^2 + λ - λ^2
        =λ

四、代碼示例

下面是使用Python實現泊松分佈的期望和方差計算：

  import math
  
  # 計算泊松分佈的期望
  def poisson_expectation(lamda):
    return lamda
  
  # 計算泊松分佈的方差
  def poisson_variance(lamda):
    return lamda
  
  # 示例：
  print("泊松分佈的期望：", poisson_expectation(3))
  print("泊松分佈的方差：", poisson_variance(3))