DiagonalMatrix及其在編程中的應用

一、DiagonalMatrix是什麼

DiagonalMatrix，中文名對角矩陣，是一種方陣，其非零元素只會出現在對角線上。因此，它的上三角和下三角都是零矩陣，可以表示為:

|d1  0  0 ... 0 |
|0  d2  0 ... 0 |
|0  0  d3 ... 0 |
|.  .   .  .    |
|.  .   .  .    |
|0  0   0 .. dn |

其中，d1,d2,d3,…,dn為對角線上的元素，也叫做對角線元素。

二、DiagonalMatrix在編程中的應用

1、線性代數計算

DiagonalMatrix在計算線性代數相關問題中有重要作用。例如，對於一個向量，如果與DiagonalMatrix相乘，則相當於對這個向量的每一個維度按照對角線上的元素進行縮放。在計算機圖形學中，就可以通過對角矩陣來實現圖像的縮放功能。

#include
#include
#include

using namespace Eigen;
using namespace std;

int main()
{
    //定義一個3維向量
    Vector3f v(1,2,3);
    //定義一個對角矩陣
    DiagonalMatrix diag;
    diag.diagonal()<<2,3,4; //對角線元素
    //向量與對角矩陣相乘
    Vector3f result = diag*v;
    cout<<result<<endl; // 輸出: 2 6 12 
    return 0;
}

2、數據壓縮

另一個應用場景是在數據壓縮中，例如壓縮圖像數據。加入一張圖片橫向只有10個像素，縱向有100萬個像素，那麼完整的圖片大小為10*1000000=10000000。但是如果我們知道該圖片只有橫向10個像素有顏色，其餘的均為白色，則我們可以用DiagonalMatrix來表示：

#include
#include

using namespace Eigen;
using namespace std;

int main()
{
    int width = 10;
    int height = 1000000;
    MatrixXd A = MatrixXd::Zero(width,height);
    DiagonalMatrix D;
    for(int i = 0; i< width; ++i)
    {
        D.diagonal()[i] = 1.0; //對角線元素
    }
    MatrixXd result = D*A;
    cout<<result.rows()<<"*"<<result.cols()<<endl; //輸出: 10*1000000 
    return 0;
}

3、對角矩陣的運算性質

對角矩陣還有一些在計算線性代數問題時非常有用的運算性質。例如，對角矩陣與另一個對角矩陣相加，結果仍然是對角矩陣；對角矩陣與另一個矩陣相乘，結果仍然是矩陣。

#include
#include

using namespace Eigen;
using namespace std;

int main()
{
    DiagonalMatrix A;
    A.diagonal()<<1,2,3; //對角線元素
    DiagonalMatrix B;
    B.diagonal()<<3,2,1; //對角線元素

    //對角矩陣加對角矩陣
    DiagonalMatrix C = A + B;
    cout << C.matrix() <<endl;//輸出: 4  0  0
                                //     0  4  0
                                //     0  0  4

    MatrixXd D(3,3);
    D<<1,2,3,
       4,5,6,
       7,8,9;
    //對角矩陣乘任何矩陣，結果仍然是矩陣
    MatrixXd E = A*D;
    cout << E <<endl;//輸出: 1  4  9
                        //     8 10 12
                        //    21 24 27

    return 0;
}

三、結語

DiagonalMatrix雖然看起來簡單，但是在計算線性代數以及計算機圖形學領域中都有着重要的應用。同時它擁有一些很有用的運算性質，這些性質在編程中使用時也非常方便。因此，在學習計算機相關專業的時候，我們也要學會善於運用DiagonalMatrix來解決自己遇到的問題。