JAVA求餘數：從多個方面詳解

一、基本概念

求餘數是指將一個數除以另一個數，得到的餘數就是它們之間的差。在JAVA中，對於整數類型，可以使用%進行求餘數操作：

int a = 10;
int b = 3;
int c = a % b; // c的值為1

上面的代碼中，a為被除數，b為除數，%為求餘數操作符，c為所求餘數。

需要注意的是，當除數為0時，JAVA會拋出ArithmeticException異常。

二、求餘數的應用

求餘數在編程中有廣泛應用，下面介紹幾個常見的應用場景。

1. 判斷奇偶性

當一個數對2求餘數為0時，它是偶數；否則它是奇數。可以使用如下代碼來判斷一個數的奇偶性：

int num = 7;
if(num % 2 == 0){
    System.out.println(num + "是偶數");
}else{
    System.out.println(num + "是奇數");
}

2. 數字轉換

通過對一個整數分解，可以將它轉換為不同位置上的數字。比如，一個三位數abc可以表示為100a+10b+c，其中a、b、c分別表示百位、十位和個位上的數字。

由於JAVA中的int類型整數範圍為-2^31~2^31-1，可以使用這種方法將6位數字以下的數轉換為字符串。例如：

int num = 54321;
int a = num / 10000; // a的值為5
int b = num % 10000 / 1000; // b的值為4
int c = num % 1000 / 100; // c的值為3
int d = num % 100 / 10; // d的值為2
int e = num % 10; // e的值為1
String str = "" + a + b + c + d + e; // str的值為"54321"

三、求餘數的優化

對於大規模求餘數的問題，可以使用優化算法來加速計算。

1. 模運算規律

當被除數為較大的整數，除數為2的冪時（即除數為2、4、8、16、32等），可以使用模運算規律來提高計算速度。

模運算規律：對於任意一個整數n，如果n = 2^k*m（k為非負整數，m為奇數），則n%2^k = n&(2^k-1)，即n對2^k求余等價於n與2^k-1按位與的結果。

例如，需要計算1314520對8求余的結果，可以使用位運算來優化計算：

int num = 1314520;
int res = num & 7; // res的值為0

在以上代碼中，7的二進制表示為111，它與任意一個數按位與的結果就等於該數對8求余的結果。

2. 質數取模

當被除數和除數都是質數時，可以使用費馬小定理來進行求餘數的運算。

費馬小定理：如果p是質數，a是整數且a不是p的倍數，則a^(p-1) mod p = 1。

在以上定理中，^表示冪運算，mod表示模運算（求餘數）。

例如，需要計算123456789012345對9973求余的結果，可以使用費馬小定理來優化計算：

long num = 123456789012345L;
int a = 9973;
int res = 1;
while(num != 0){
    if(num % 2 == 1){
        res = (res * a) % a;
    }
    a = (a * a) % a;
    num /= 2;
}

在以上代碼中，a表示除數，num表示被除數。通過不斷對a進行平方運算，然後對結果進行模運算，可以獲得a的各個次方數對a求餘數的結果。在代碼中，res表示累積的結果，初始值為1，每次遇到num的二進制中的1位，即將當前累積的結果乘以對應次方的餘數再對a求余。

四、小結

JAVA中求餘數是編程中的一個重要操作，涉及到很多方面，如奇偶性判斷、數字轉換、優化算法等。在處理大規模的求餘數問題時，可以採用模運算規律、費馬小定理等優化算法來加快計算速度，從而提高程序的效率。