Python中的正態分佈概率密度函數

一、引言

正態分佈（Normal Distribution）是一種非常常見的概率分佈形式。 在實際應用中，許多現象都可以用正態分佈來描述， 比如身高、體重、考試分數等等。Python是一種常用的編程語言，可以通過編寫代碼來計算和繪製正態分佈概率密度函數。 在本文中，我們將介紹如何使用Python來生成正態分佈概率密度函數。

二、正態分佈概率密度函數

1. 什麼是正態分佈概率密度函數

正態分佈概率密度函數（Probability Density Function，以下簡稱PDF），又稱高斯分佈（Gaussian Distribution），是一種連續概率分佈，是一條鐘形曲線，其均值、方差決定了曲線的位置和形狀。正態分佈的PDF公式如下：

import math

def normal_distribution(x, mu, sigma):
    return 1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * sigma) * math.exp(- (x - mu) ** 2 / (2 * sigma ** 2))

其中，μ是正態分佈的均值， σ是正態分佈的標準差。正態分佈的PDF具有對稱性，因此均值為中心。

2. 如何用代碼生成正態分佈概率密度函數

在Python中，我們可以使用SciPy庫中的norm函數來生成正態分佈概率密度函數。norm函數的參數包括均值（loc）、標準差（scale）以及要繪製的數據的數量（size）。下面是一段示例代碼：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 生成正態分佈隨機數
data = norm.rvs(loc=0, scale=1, size=1000)

# 生成正態分佈概率密度函數
x = np.linspace(norm.ppf(0.01), norm.ppf(0.99), 100)
y = norm.pdf(x, loc=0, scale=1)

# 繪製正態分佈概率密度函數
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y, 'r-', lw=2, alpha=0.6, label='pdf')
ax.hist(data, density=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2)
ax.legend(loc='best', frameon=False)
plt.show()

在上面的代碼中，我們先使用norm.rvs生成1000個隨機數，然後使用norm函數的pdf方法生成x軸上的100個數據點，最後使用matplotlib庫中的plot方法將它們一起繪製出來。

三、應用實例

1. 如何計算正態分佈下的置信區間

正態分佈在統計學中有很廣泛的應用，其中之一就是計算置信區間。置信區間是指：在一定置信度下，總體實際值落在計算出的區間內的概率，通常取95%。 在Python中，我們可以使用SciPy庫中的t分佈函數和norm分佈函數來計算置信區間。下面是一段示例代碼：

from scipy.stats import t

# 設置置信度和樣本數據
confidence_level = 0.95
data = [1, 2, 3, 4, 5]

# 求樣本均值、樣本標準差和置信區間
sample_mean = np.mean(data)
sample_std = np.std(data, ddof=1)
t_value = t.ppf((1 + confidence_level) / 2, len(data) - 1)
lower_bound = sample_mean - t_value * sample_std / math.sqrt(len(data))
upper_bound = sample_mean + t_value * sample_std / math.sqrt(len(data))

print("置信區間：[{:.2f}, {:.2f}]".format(lower_bound, upper_bound))

2. 如何使用正態分佈進行模擬和預測

正態分佈在金融、經濟等領域被廣泛應用於模擬和預測。在Python中，我們可以使用numpy庫的random模塊來生成正態分佈的隨機數，然後使用這些隨機數進行模擬和預測。下面是一段示例代碼：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 設置參數
mu, sigma = 0, 0.1

# 生成正態分佈隨機數
s = np.random.normal(mu, sigma, 1000)

# 繪製正態分佈概率密度函數
count, bins, ignored = plt.hist(s, 30, density=True)
plt.plot(bins, 1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) * np.exp(- (bins - mu) ** 2 / (2 * sigma ** 2)), linewidth=2, color='r')
plt.show()

在上面的代碼中，我們生成了一個均值為0，標準差為0.1的正態分佈，並使用matplotlib庫中的hist方法將其繪製出來。通過這個分佈我們可以進行模擬和預測，比如可以基於這個分佈模擬股票價格的波動。

四、 總結

正態分佈是一種非常常見的概率分佈形式，Python通過SciPy庫的norm函數和numpy庫的random模塊提供了方便的正態分佈的生成和處理。本文介紹了正態分佈的概率密度函數及其Python代碼實現，並舉了計算置信區間和使用正態分佈進行模擬和預測的例子。