模擬退火算法Matlab

一、算法概述

模擬退火算法（Simulated Annealing）是一種全局優化方法，其基本原理來自固體退火過程。其主要思想是在優化的過程中引入隨機因素，以克服其他算法容易陷入局部最優解的缺陷。算法運用概率思想，在狀態空間中隨機遊走，在不同狀態之間跳躍，以達到全局最優。該算法目前已經被廣泛應用於圖形優化、圖像處理等領域。

二、算法流程

1、初始化初始狀態，溫度和停止溫度。

2、根據算法要求，計算初始狀態對應的函數值。

3、在當前溫度下，隨機選擇當前狀態（x0）的一個相鄰狀態（x1）進行變化。

4、計算狀態權值函數的差值（ΔE），如果ΔE < 0，接受這個狀態變化，令x1成為下一步的起始狀態，轉到步驟 2；否則以概率 exp（-ΔE/T）接受該狀態變化並轉到步驟 2。

5、根據退火計劃（降溫時間表），使溫度降低，返回步驟 3,直到溫度降低到停止溫度。

6、輸出最佳狀態和對應的函數值。

三、算法參數

該算法主要有以下參數：

1、起始溫度T0：表示算法開始時的溫度。（T0通常是函數值差值的標準差）。

2、停止溫度Tend：表示算法結束時的溫度。

3、降溫溫度函數：表示溫度如何降低的函數。通常用指數函數 Tn=αTn−1 ，α是退火係數。

4、操作路徑：表示每個方向上需要搜索的步長。

5、狀態選擇：表示當前狀態選擇相鄰狀態的方法。這些方法包括：隨機選擇、選擇一個最接近狀態等

四、算法示例代碼

%模擬退火函數實現
function [xmin,fmin] = simulatedannealing(fun,x0,T0,Tend,alpha,numIter)
x = x0;
T = T0;
f = feval(fun,x);
xmin = x;
fmin = f;
n = length(x0);
for i = 1:numIter
   %計算溫度
   T = alpha*T;
   
   %尋找新狀態並計算函數差值
   xn = x + randn(n,1);
   fn = feval(fun,xn);
   df = fn-f;
   
   %如果狀態更優，接受新狀態
   if df < 0
        x = xn;
        f = fn;
   
    %否則以概率接受新狀態
   else
       p = exp(-df/T);
       r = rand;
        if r 
 f       xmin = x;       fmin = f;   end      %如果溫度小於結束溫度，算法停止   if T < Tend       break;   endend

五、應用案例

模擬退火算法可以用於求解各種函數的全局最優化值和圖像處理的優化等問題。下文舉例說明：

六、案例一：尋找單峰函數最優解

首先隨機生成一個單峰函數，然後用模擬退火算法尋找全局最優解。以下是Matlab代碼的示例：

%生成隨機函數
x = linspace(-10,10,200);
y = exp(-x.^2)+0.2*randn(size(x));

%費用函數定義
global yy
yy = y;
fun = @cost;

%模擬退火算法
numIter = 20000;
x0 = 10*randn(1);
T0 = std(y);
Tend = 0.01;
alpha = 0.99;
[xmin,fmin] = simulatedannealing(fun,x0,T0,Tend,alpha,numIter)

%費用函數計算
function f = cost(x)
    global yy
    f = sum((yy-exp(-x^2)).^2);
end

%結果繪圖
figure;
plot(x,y,'r');
hold on;
plot(xmin,exp(-xmin.^2),'ko');
title(['最優解：',num2str(xmin),'，最優值：',num2str(fmin)]);
xlabel('x');
ylabel('y');

七、案例二：圖像優化

模擬退火算法也可以用於圖像優化中求解全局最小值。以下是Matlab代碼的示例：

%讀入圖像
img = imread('img.png');

%定義目標函數
global targetImg
targetImg = imread('target.png');
fun = @cost;

%參數設定和模擬退火算法
numIter = 5000;
x0 = [0,0];
T0 = 0.5;
Tend = 0.01;
alpha = 0.95;
[xmin,fmin] = simulatedannealing(fun,x0,T0,Tend,alpha,numIter);

%算法結果和繪圖
out = imtranslate(img, -xmin, 'bilinear');
figure;
subplot(1,2,1);
imshow(img);
title('原圖');
subplot(1,2,2);
imshow(out);
title(['移動距離：(',num2str(xmin(1)),', ',num2str(xmin(2)),') 最優值：',num2str(fmin)]);

%函數計算
function f = cost(x)
global targetImg
    out = imtranslate(targetImg,[x(2),x(1)],'bilinear');
    f = sum(sum(sum((out - img).^2)));
end

八、總結

模擬退火算法是一種全局最優化算法，可以用於求解各種函數和圖像優化的問題。本文詳細介紹了算法原理、流程、參數和應用案例。需要注意的是，該算法存在一定的隨機性，因此需要根據具體問題設置好參數。其它全局最優化算法也可以作為參考，進行算法性能比較和選擇。