擴展卡爾曼濾波

一、概述

擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）是基於貝葉斯濾波理論的一種常見的非線性濾波方法，用於估計動態系統的狀態。與卡爾曼濾波（Kalman Filter，KF）相比，EKF可以處理一些非線性系統，但也有一些限制。在此文章中，我們將對擴展卡爾曼濾波進行詳細闡述。

二、原理

擴展卡爾曼濾波的原理可以分為兩部分：預測和更新。預測步驟思路與卡爾曼濾波相同，即對每個時間步進行預測，得到預測狀態和協方差矩陣。更新步驟則是通過測量值進行狀態的更新和估計。

對於非線性系統，需要使用擴展卡爾曼濾波來完成預測步驟和更新步驟。擴展卡爾曼濾波通過線性化非線性系統來實現預測和更新。具體方法是用泰勒級數展開非線性函數，得到一個近似的線性函數，再用卡爾曼濾波的方式進行狀態估計。

三、應用

擴展卡爾曼濾波可以廣泛應用於估計非線性動態系統的狀態，比如機械人定位、自動駕駛、目標跟蹤等等。下面我們以目標跟蹤為例，來說明擴展卡爾曼濾波的應用。

在目標跟蹤中，我們可以用攝像頭或者雷達等傳感器來獲取目標的位置信息，並根據位置信息估計目標的速度等狀態信息。此時，擴展卡爾曼濾波可以根據狀態轉移方程進行預測，當我們得到雷達等傳感器的測量值時，再根據測量方程來進行狀態的更新，得到更準確的目標狀態。

四、代碼示例

import numpy as np

# EKF預測步驟
def predict(x, P, F, Q):
    x = np.dot(F, x)
    P = np.dot(np.dot(F, P), F.T) + Q
    return x, P

# EKF更新步驟
def update(x, P, m, H, R):
    y = m - np.dot(H, x)
    S = np.dot(np.dot(H, P), H.T) + R
    K = np.dot(np.dot(P, H.T), np.linalg.inv(S))
    x = x + np.dot(K, y)
    P = np.dot((np.eye(len(x)) - np.dot(K, H)), P)
    return x, P

# 線性化非線性系統
def linearize(fx, F, x, hx, H):
    F = np.array([[F[i,j].subs(zip(x, xe)) for i in range(len(x))] for j in range(len(xe))], dtype=np.float64)
    return F, H

# 定義狀態轉移方程和測量方程
def fx(x, dt):
    return np.array([x[0]+x[1]*dt, x[1]])

def hx(x):
    return np.array([x[0], x[1]])

# 定義各個變量
dt = 0.1
Q = np.diag([0, 0])
R = np.eye(2)*0.1
F = np.array([[1, dt], [0, 1]])
H = np.eye(2)

x = np.array([0, 0])
P = np.diag([100, 100])
m = np.array([1, 0])

# 進行EKF預測和更新
F, H = linearize(fx, F, x, hx, H)
x, P = predict(x, P, F, Q)
x, P = update(x, P, m, H, R)

五、總結

擴展卡爾曼濾波作為一種基於貝葉斯濾波理論的非線性濾波方法，在估計非線性動態系統的狀態方面具有廣泛應用。通過對非線性系統進行線性化，可以使用卡爾曼濾波的方式進行狀態估計，從而提高了系統的準確性。