深入理解softmax求導

一、簡介

softmax函數是在深度學習和神經網絡中常用的函數，主要用於多分類問題和概率分佈。在反向傳播算法中，softmax函數的求導是一個非常重要的過程，本文將從多個方面闡述softmax函數的求導方法。

二、softmax函數的定義

在介紹softmax函數的求導方法之前，我們先來了解一下softmax函數的定義和基本性質。

def softmax(x):
    shift_x = x - np.max(x)
    exp_x = np.exp(shift_x)
    return exp_x / np.sum(exp_x)

softmax函數的定義是將任意的實數向量$\mathbf{x}$映射成一個概率分佈$\mathbf{p}$的函數，即：

$$
\mathrm{softmax}(\mathbf{x})_i = \frac{\exp(x_i)}{\sum_{j=1}^k \exp(x_j)}
$$

其中，$i \in \{1,2,\dots,k\}$，$k$ 是 $\mathbf{x}$ 中元素的個數，$x_i$ 是 $\mathbf{x}$ 的第 $i$ 個元素。

softmax函數具有以下性質：

• 每個元素都非負，並且所有元素之和為1。
• softmax函數是單調遞增函數，即對於所有 $i,j$，如果 $i<j$，則 $\mathrm{softmax}(\mathbf{x})_i < \mathrm{softmax}(\mathbf{x})_j$。
• softmax函數是一個連續可微的函數。

三、softmax函數的求導方法

1. 簡單情況下的求導方法

在簡單情況下，我們可以根據softmax函數的定義求導。

設 $\mathbf{p} = \mathrm{softmax}(\mathbf{x})$，則：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial p_i}{\partial x_j} &= \frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\exp(x_i)}{\sum_{k=1}^k \exp(x_k)} \\
&= \frac{\exp(x_i) \cdot \frac{\partial}{\partial x_j}\sum_{k=1}^k \exp(x_k) – \exp(x_j) \cdot \frac{\partial}{\partial x_j}\exp(x_i)}{\left(\sum_{k=1}^k \exp(x_k)\right)^2} \\
&= \frac{\exp(x_i)}{\sum_{k=1}^k \exp(x_k)} \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x_j}\sum_{k=1}^k \exp(x_k)\right) – \frac{\exp(x_i) \cdot \exp(x_j)}{\left(\sum_{k=1}^k \exp(x_k)\right)^2} \\
&= \frac{\exp(x_i)}{\sum_{k=1}^k \exp(x_k)} \cdot \frac{\partial}{\partial x_j}(\exp(x_j)) – \frac{\exp(x_i) \cdot \exp(x_j)}{\left(\sum_{k=1}^k \exp(x_k)\right)^2} \\
&= \begin{cases}
\mathrm{softmax}(\mathbf{x})_i \cdot (1 – \mathrm{softmax}(\mathbf{x})_j) & i=j \\
-\mathrm{softmax}(\mathbf{x})_i \cdot \mathrm{softmax}(\mathbf{x})_j & i \neq j
\end{cases}
\end{aligned}
$$

這裡我們使用了兩個基本公式：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x}\exp(x) &= \exp(x) \\
\frac{\partial}{\partial x}\sum_{i=1}^k g(x_i) &= \sum_{i=1}^k \frac{\partial}{\partial x_i} g(x_i)
\end{aligned}
$$

2. 計算交叉熵損失函數的梯度

在深度學習中，我們通常使用交叉熵損失函數來評價模型的預測結果，交叉熵損失函數的定義是：

$$
L(y, \hat{y}) = -\sum_{i=1}^k y_i \log \hat{y}_i
$$

其中，$y$ 是真實的標籤向量，$\hat{y}$ 是模型的預測向量。

由於交叉熵損失函數是關於$\hat{y}$的函數，因此我們需要計算 $\frac{\partial L}{\partial \hat{y}}$ 來更新模型的參數。

設 $p = \mathrm{softmax}(\mathbf{x})$，則 $\hat{y} = p$，交叉熵損失函數可以表示為：

$$
L(y, p) = -\sum_{i=1}^k y_i \log p_i
$$

我們需要計算 $\frac{\partial L}{\partial x_i}$ 來更新模型的參數，根據鏈式法則，有：

$$
\frac{\partial L}{\partial x_i} = \sum_{j=1}^k \frac{\partial L}{\partial p_j} \cdot \frac{\partial p_j}{\partial x_i}
$$

由於 $p$ 與 $x$ 之間的關係已經求出，我們只需要計算 $\frac{\partial L}{\partial p_j}$ 即可。

根據交叉熵損失函數的定義，有：

$$
\frac{\partial L}{\partial p_j} = -\frac{y_j}{p_j}
$$

將其代入上式，有：

$$
\frac{\partial L}{\partial x_i} = -\sum_{j=1}^k \frac{y_j}{p_j} \cdot \frac{\partial p_j}{\partial x_i}
$$

接下來，我們將 $\frac{\partial L}{\partial x_i}$ 帶入求導公式，得到：

$$
\frac{\partial L}{\partial x_i} = \begin{cases}
(p_i – y_i) & i \in \{1,2,\dots,k\} \\
\end{cases}
$$

這個式子非常有用，我們可以直接使用它來更新模型的參數，例如在使用SGD、Adam等優化算法的時候。

3. 使用矩陣運算簡化求導過程

在實際中，我們通常使用矩陣形式表示softmax函數，即：

$$
\mathrm{softmax}(\mathbf{x}) = \frac{\exp(\mathbf{x})}{\mathbf{1}^\mathrm{T} \exp(\mathbf{x})}
$$

其中，$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$ 是輸入向量，$\mathbf{1}$ 是全1向量。

我們可以使用矩陣運算來簡化求導過程。

首先，我們定義：

$$
\mathbf{P} = \mathrm{softmax}(\mathbf{x}) \\
\mathbf{Y} = \mathrm{diag}(\mathbf{y}) \\
\mathbf{J} = \mathbf{P} – \mathbf{Y}
$$

其中，$\mathrm{diag}(\cdot)$ 表示將向量轉化成對角矩陣。

根據第2節的求導公式，我們有：

$$
\frac{\partial L}{\partial x_i} = \sum_{j=1}^k \frac{\partial L}{\partial p_j} \cdot \frac{\partial p_j}{\partial x_i}
$$

根據求導公式，我們可以將 $\frac{\partial L}{\partial p_j}$ 表示為：

$$
\frac{\partial L}{\partial p_j} = -\frac{y_j}{p_j} = -y_j \cdot (\mathbf{P})_j = (\mathbf{Y})_{jj}(\mathbf{P})_{j} = (\mathbf{Y} \odot \mathbf{P})_{j}
$$

其中，$\odot$ 表示依元素相乘。

同樣的，我們可以將 $\frac{\partial p_j}{\partial x_i}$ 表示為：

$$
\frac{\partial p_j}{\partial x_i} = \begin{cases}
p_i \cdot (1 – p_i) & i=j \\
-p_i \cdot p_j & i \neq j
\end{cases} = \begin{cases}
(\mathbf{P})_i (1 – (\mathbf{P})_i) & i=j \\
-(\mathbf{P})_i (\mathbf{P})_j & i \neq j
\end{cases} = \begin{cases}
(\mathbf{P} \odot (1-\mathbf{P}))_i & i=j \\
-(\mathbf{P} \odot \mathbf{P})_{i,j} & i \neq j
\end{cases}
$$

使用矩陣運算，我們可以得到：

$$
\frac{\partial L}{\partial x} = \mathbf{J}^\mathrm{T}
$$

這個式子跟第2節的公式是等價的。

總結

本文從多個方面詳細闡述了softmax函數的求導方法，並介紹了如何使用矩陣運算來簡化求導過程。在深度學習和神經網絡中，softmax函數是非常重要的函數，softmax函數的求導是深度學習算法中必不可少的環節，對於深入理解深度學習算法具有重要意義。