歐拉角轉換旋轉矩陣

一、歐拉角轉換旋轉矩陣MATLAB

歐拉角是描述空間中物體運動姿態的一種常用方式，而旋轉矩陣是表示物體在三維空間內旋轉的一種方式。歐拉角和旋轉矩陣之間可以互相轉換，MATLAB提供了相應的函數來實現這個轉換。

syms phi theta psi;
Rz = [cos(psi) -sin(psi) 0;sin(psi) cos(psi) 0;0 0 1];
Ry = [cos(theta) 0 sin(theta);0 1 0;-sin(theta) 0 cos(theta)];
Rx = [1 0 0;0 cos(phi) -sin(phi);0 sin(phi) cos(phi)];
R = Rz*Ry*Rx;

其中syms定義了三個可變的符號phi, theta和psi，Rz、Ry和Rx分別是繞z、y和x軸旋轉的三階旋轉矩陣，R是三階旋轉矩陣表示的旋轉矩陣。phi、theta和psi分別表示繞x、y和z軸旋轉的角度。

二、歐拉角和旋轉矩陣相互轉換

歐拉角和旋轉矩陣之間的相互轉換是非常重要的，因為它在很多領域都有廣泛的應用。例如，在三維計算機圖形學中，歐拉角和旋轉矩陣的相互轉換可以用來表示物體在三維空間中的旋轉。

將歐拉角轉換成旋轉矩陣的過程已經在第一部分中提到了，下面介紹如何將旋轉矩陣轉換成歐拉角：

R = [0.8486 -0.5296 0;0.5296 0.8486 0;0 0 1];
theta = -asin(R(3,1));        
psi = atan2(R(3,2)/cos(theta), R(3,3)/cos(theta)); 
phi = atan2(R(2,1)/cos(theta), R(1,1)/cos(theta));

其中R是旋轉矩陣，theta、psi和phi分別表示沿x、y和z軸的旋轉角度。上述代碼使用了反正弦、反正切等函數來求解。

三、歐拉角旋轉矩陣

歐拉角旋轉矩陣也是表示物體在三維空間內旋轉的一種方式。歐拉角旋轉矩陣和三階旋轉矩陣很相似，但歐拉角旋轉矩陣是通過將三個基本的旋轉矩陣按一定的順序相乘得到的。

以繞z、y、x軸的歐拉角順序為例，歐拉角旋轉矩陣為：

syms phi theta psi;
R = [cos(phi)*cos(theta)*cos(psi)-sin(phi)*sin(psi) -cos(phi)*cos(theta)*sin(psi)-sin(phi)*cos(psi) cos(phi)*sin(theta);
cos(theta)*cos(psi)*sin(phi)+cos(phi)*sin(psi) -cos(theta)*sin(phi)*sin(psi)+cos(phi)*cos(psi) sin(theta)*sin(phi);
-sin(theta)*cos(psi) sin(theta)*sin(psi) cos(theta)];

其中符號phi、theta、psi表示沿z、y、x軸的旋轉角度。以下是繞x、y、z軸的歐拉角順序的歐拉角旋轉矩陣：

R = [cos(psi)*cos(theta) cos(psi)*sin(theta)*sin(phi)-cos(phi)*sin(psi) sin(psi)*sin(phi)+cos(psi)*cos(phi)*sin(theta);
cos(theta)*sin(psi) cos(phi)*cos(psi)+sin(phi)*sin(psi)*sin(theta) cos(phi)*sin(psi)*sin(theta)-cos(psi)*sin(phi);
-sin(theta) cos(theta)*sin(phi) cos(theta)*cos(phi)];

四、旋轉矩陣求解頭部歐拉角

在計算機視覺領域中常用的一種技術是通過頭部姿態來識別身體的方向。這種技術需要求出頭部的歐拉角，可通過旋轉矩陣求解得到。

R = [0.9653 -0.0578 0.2553;-0.1260 0.7833 0.6088;-0.2300 -0.6189 0.7500];
theta = -asin(R(3,1));
psi = atan2(R(3,2)/cos(theta),R(3,3)/cos(theta));
phi = atan2(R(2,1)/cos(theta),R(1,1)/cos(theta));

上述代碼解析了一個3×3的旋轉矩陣R，並通過反正弦、反正切函數求解了旋轉矩陣所對應的歐拉角。

五、三階旋轉矩陣歐拉角

三階旋轉矩陣歐拉角可以通過將三維空間的指定坐標系轉換成其他指定坐標系的方式實現。例如，可以將三階旋轉矩陣表示成三個矩陣的乘積，每個矩陣代表繞一個軸的旋轉。

以繞z、y、x軸的歐拉角順序為例，三階矩陣表示為：

R(phi,theta,psi) = Rz(psi)*Ry(theta)*Rx(phi)

其中Rz、Ry和Rx分別表示繞z、y和x軸旋轉的三階矩陣，phi、theta和psi分別表示繞x、y和z軸旋轉的角度。

六、Python歐拉角轉旋轉矩陣的庫

在Python中，需要引入scipy庫中的Rotation類來將歐拉角轉換成旋轉矩陣：

from scipy.spatial.transform import Rotation as R
r = R.from_euler('zyx', [0, 90, 0], degrees=True)
print(r.as_matrix())

上述代碼將歐拉角[0,90,0]轉換成旋轉矩陣並輸出。

七、歐拉角旋轉順序

歐拉角旋轉順序指的是旋轉矩陣中旋轉的順序。例如，繞x、y、z軸的旋轉順序表示先繞x軸旋轉，再繞y軸旋轉，最後繞z軸旋轉。旋轉順序不同，得到的結果也會不同。

以下是常用的歐拉角旋轉順序：

• 繞x、y、z軸
• 繞x、z、y軸
• 繞y、x、z軸
• 繞y、z、x軸
• 繞z、x、y軸
• 繞z、y、x軸

八、歐拉角坐標系轉換

在有些情況下，需要將歐拉角從一個坐標系轉換成另一個坐標系。例如，在飛行器控制方案中，需要將姿態角從飛行器系轉換到地面系。

以下是歐拉角坐標系轉換的公式：

syms phi1 theta1 psi1 phi2 theta2 psi2;
Rz1 = [cos(psi1) -sin(psi1) 0;sin(psi1) cos(psi1) 0;0 0 1];
Ry1 = [cos(theta1) 0 sin(theta1);0 1 0;-sin(theta1) 0 cos(theta1)];
Rx1 = [1 0 0;0 cos(phi1) -sin(phi1);0 sin(phi1) cos(phi1)];
R1 = Rz1*Ry1*Rx1;
Rz2 = [cos(psi2) -sin(psi2) 0;sin(psi2) cos(psi2) 0;0 0 1];
Ry2 = [cos(theta2) 0 sin(theta2);0 1 0;-sin(theta2) 0 cos(theta2)];
Rx2 = [1 0 0;0 cos(phi2) -sin(phi2);0 sin(phi2) cos(phi2)];
R2 = Rz2*Ry2*Rx2;
R = R2.'*R1;

其中R1和R2分別是兩個坐標系下的旋轉矩陣，R表示歐拉角在兩個坐標系下的轉換結果。

九、四元數轉換成歐拉角

四元數是描述旋轉的一種數學工具，它可以表示三維空間中的任意旋轉。四元數轉換成歐拉角可以使用scipy庫中的Rotation類。

from scipy.spatial.transform import Rotation as R
r = R.from_quat([0.707107, 0, 0, 0.707107])
print(r.as_euler('zyx', degrees=True))

上述代碼將四元數[0.707107, 0, 0, 0.707107]轉換成歐拉角並輸出。

十、旋轉矩陣轉歐拉角

旋轉矩陣轉換成歐拉角的公式與將旋轉矩陣轉換成歐拉角的公式類似，但需要注意旋轉順序的問題。

R = [0.7071 0.7071 0;-0.7071 0.7071 0;0 0 1];
theta = -asin(R(3,1));
psi = atan2(R(3,2)/cos(theta),R(3,3)/cos(theta));
phi = atan2(R(2,1)/cos(theta),R(1,1)/cos(theta));

上述代碼將一個旋轉矩陣轉換成歐拉角，並且假設旋轉順序為z、y、x。