Python數學建模算法與應用PDF

一、簡介

Python數學建模是指使用Python編程語言來實現數學模型和算法。Python作為一種高級編程語言，被廣泛地適用於科學計算、數據分析和人工智能等領域，成為了數學建模的首選語言之一。Python數學建模的主要特點是語法簡潔而強大、擁有強大的科學計算和數據處理庫以及可視化工具。

二、基礎算法

1、線性規劃

from scipy.optimize import linprog

c = [-1, 4] # 目標函數係數，即z = -x + 4y
A = [[3, 1], [-1, 2]] # 約束條件的係數矩陣
b = [9, 4] # 約束條件的值
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b) # 調用線性規劃函數，求解最優解
print(res.fun, res.x) # 輸出最小值與取到最小值時的自變量取值

2、非線性規劃

from scipy.optimize import minimize

def objective(x): # 定義目標函數
    return x[0]**2 + x[1]**2

def constraint(x): # 定義約束條件
    return x[0] + x[1] - 3

cons = {'type': 'eq', 'fun': constraint} # 約束條件
res = minimize(objective, [1, 1], constraints=cons) # 調用非線性規劃函數，求解最優解
print(res.fun, res.x) # 輸出最小值與取到最小值時的自變量取值

3、差分方程

import numpy as np

def f(x, t, alpha): # 定義差分方程
    return alpha * (x[1:] - x[:-1])

alpha = 1.2 # 參數
x0 = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) # 初值
t = np.linspace(0, 1, 5) # 時間
from scipy.integrate import odeint
x = odeint(f, x0, t, args=(alpha,)) # 調用數值積分函數，得到近似解
print(x)

三、應用案例

1、人口增長模型

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N0 = 10 # 初始人口數
r = 0.1 # 出生率
K = 100 # 環境承載能力
t = np.linspace(0, 50, 1000) # 時間步長
N = K * N0 / (N0 + (K - N0) * np.exp(-r * t)) # 這裡求解ODE，獲得人口隨時間的變化曲線

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, N, label='Population')
ax.set(xlabel='Time (year)', ylabel='Number of Population', title='Population Growth Model')
ax.legend()
plt.show()

2、機器學習

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.metrics import accuracy_score

iris = load_iris()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(iris.data, iris.target, test_size=0.25, random_state=42)
model = RandomForestClassifier(n_estimators=100, random_state=42)
model.fit(X_train, y_train)
y_pred = model.predict(X_test)
acc = accuracy_score(y_test, y_pred)
print('Accuracy:', acc)

3、深度學習

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import layers

model = tf.keras.Sequential([
    layers.Dense(64, activation='relu', input_shape=(784,)),
    layers.Dense(64, activation='relu'),
    layers.Dense(10, activation='softmax')
])

model.compile(optimizer=tf.keras.optimizers.Adam(),
              loss=tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(),
              metrics=[tf.keras.metrics.SparseCategoricalAccuracy()])

(X_train, y_train), (X_test, y_test) = tf.keras.datasets.mnist.load_data()
X_train, X_test = X_train / 255.0, X_test / 255.0
model.fit(X_train, y_train, epochs=5, validation_data=(X_test, y_test))

四、總結

Python數學建模是一種高效、靈活、易於實現的數學建模方法，廣泛應用於科學計算、數據分析和人工智能等領域。通過本文的介紹，我們可以了解到Python數學建模的基本原理和應用方法，並實現了線性規劃、非線性規劃、差分方程等算法，以及人口增長模型、機器學習和深度學習的應用案例。該領域仍在不斷發展，Python數學建模將在未來發揮更重要的作用。