旋轉矩陣轉四元數

一、基本定義

旋轉矩陣和四元數是描述三維空間旋轉的兩種方式，旋轉矩陣是一個3×3的正交矩陣，而四元數則是一個四元組。旋轉矩陣和四元數可以相互轉換，且在很多場合下四元數更加高效。

二、旋轉矩陣轉四元數

對於一個旋轉矩陣R，其對應的四元數Q可以通過以下公式得到：

float trace = R[0][0] + R[1][1] + R[2][2];
if (trace > 0) {
    float s = 0.5f / sqrtf(trace + 1.0f);
    Q.w = 0.25f / s;
    Q.x = (R[2][1] - R[1][2]) * s;
    Q.y = (R[0][2] - R[2][0]) * s;
    Q.z = (R[1][0] - R[0][1]) * s;
} else {
    if (R[0][0] > R[1][1] && R[0][0] > R[2][2]) {
        float s = 2.0f * sqrtf(1.0f + R[0][0] - R[1][1] - R[2][2]);
        Q.w = (R[2][1] - R[1][2]) / s;
        Q.x = 0.25f * s;
        Q.y = (R[0][1] + R[1][0]) / s;
        Q.z = (R[0][2] + R[2][0]) / s;
    } else if (R[1][1] > R[2][2]) {
        float s = 2.0f * sqrtf(1.0f + R[1][1] - R[0][0] - R[2][2]);
        Q.w = (R[0][2] - R[2][0]) / s;
        Q.x = (R[0][1] + R[1][0]) / s;
        Q.y = 0.25f * s;
        Q.z = (R[1][2] + R[2][1]) / s;
    } else {
        float s = 2.0f * sqrtf(1.0f + R[2][2] - R[0][0] - R[1][1]);
        Q.w = (R[1][0] - R[0][1]) / s;
        Q.x = (R[0][2] + R[2][0]) / s;
        Q.y = (R[1][2] + R[2][1]) / s;
        Q.z = 0.25f * s;
    }
}

其中，trace表示旋轉矩陣的跡，即R的對角線元素之和。如果trace大於零，則通過s計算出所需的四元數元素值；否則根據R的具體取值選擇不同的計算方式。需要注意的是，在計算時需要先將旋轉矩陣R正則化。

三、四元數轉旋轉矩陣

而四元數Q轉換成旋轉矩陣R可以通過以下公式得到：

float xx = Q.x * Q.x;
float xy = Q.x * Q.y;
float xz = Q.x * Q.z;
float xw = Q.x * Q.w;
float yy = Q.y * Q.y;
float yz = Q.y * Q.z;
float yw = Q.y * Q.w;
float zz = Q.z * Q.z;
float zw = Q.z * Q.w;

R[0][0] = 1.0f - 2.0f * (yy + zz);
R[0][1] = 2.0f * (xy - zw);
R[0][2] = 2.0f * (xz + yw);
R[1][0] = 2.0f * (xy + zw);
R[1][1] = 1.0f - 2.0f * (xx + zz);
R[1][2] = 2.0f * (yz - xw);
R[2][0] = 2.0f * (xz - yw);
R[2][1] = 2.0f * (yz + xw);
R[2][2] = 1.0f - 2.0f * (xx + yy);

其中，平方項和積項分別表示四元數Q的平方和乘積，通過特定的組合方式得到矩陣元素的取值。

四、四元數的優點

旋轉矩陣轉四元數和四元數轉旋轉矩陣的兩個過程都可以通過直接計算得到，相對比較高效。另外，與旋轉矩陣相比，四元數運算更加直觀，更加適合進行蒙太奇拼接、球形插值等場合下的操作。

五、總結

旋轉矩陣和四元數都是描述三維空間旋轉的方式，兩者可以相互轉換。旋轉矩陣轉四元數可以通過判斷R的跡進行優化，四元數轉旋轉矩陣通過特定的組合方式得到矩陣元素的取值。相對於旋轉矩陣，四元數更加適合進行蒙太奇拼接、球形插值等操作。