正定矩陣的性質

一、定義

正定矩陣是指所有特徵值都為正數的方陣。特徵值是方陣在特徵向量上的投影（即特徵向量是矩陣進行線性變換後仍在原方向上的向量），而特徵值的正負決定了矩陣進行變換後是否改變向量的方向。正定矩陣的定義可以簡化為：矩陣所有正交向量的內積都是正數。

二、性質1：正定矩陣的二次型

正定矩陣在數學中有很多應用，其中之一就是它們與二次型有關。二次型是一個二次多項式，表示為 $x^T A x$，其中 $x$ 是一個 $n$ 維向量，$A$ 是一個 $n\times n$ 的矩陣。正定矩陣定義了一個正定的二次型，他的值在極值處為正。更具體地，一個二次型 $x^T A x$ 在 $x=0$ 處取得最小值0，而在其他地方的取值為正。

三、性質2：正定矩陣的逆矩陣

正定矩陣的逆矩陣依然是正定矩陣，具有同樣的特徵值。

import numpy as np

# 構造一個正定矩陣
A = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 6],
              [3, 6, 10]])

# 求矩陣的逆矩陣
A_inv = np.linalg.inv(A)

# 判斷逆矩陣是否是正定矩陣
if np.all(np.linalg.eigvals(A_inv) > 0):
    print("A的逆矩陣是正定矩陣")
else:
    print("A的逆矩陣不是正定矩陣")

四、性質3：正定矩陣的實對稱矩陣分解

任何一個正定矩陣 $A$ 均能表示為 $A=LL^T$，其中 $L$ 是一個下三角矩陣並且所有主對角線上的元素為正。這個分解的過程也被稱為 Cholesky 分解。

import numpy as np

# 構造一個正定矩陣
A = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 6],
              [3, 6, 10]])

# 進行Cholesky分解 
L = np.linalg.cholesky(A)

# 驗證分解是否正確
assert np.allclose(np.dot(L, L.T), A)

五、性質4：正定矩陣的行列式

正定矩陣的行列式值是所有特徵值的乘積，因此它是正數。換句話說，如果矩陣的行列式為零，則它不是正定矩陣。

import numpy as np

# 構造一個正定矩陣
A = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 6],
              [3, 6, 10]])

# 計算行列式
det_A = np.linalg.det(A)
if det_A > 0:
    print("A 是正定矩陣")
else:
    print("A 不是正定矩陣")

六、性質5：正定矩陣的特徵分解

正定矩陣具有正交對角線化的性質，可以進行特徵分解為 $A = Q \Lambda Q^{T}$，其中 $Q$ 是一個正交矩陣，$\Lambda$ 是一個對角矩陣，包含矩陣 $A$ 的特徵值。

import numpy as np

# 構造一個正定矩陣
A = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 6],
              [3, 6, 10]])

# 進行特徵分解
Q, L, Qt = np.linalg.svd(A)
eigvals = L**2

# 驗證分解是否正確
assert np.allclose(np.dot(np.dot(Q, np.diag(eigvals)), Qt), A)

七、小結

正定矩陣是數學中一個非常重要的概念，在數值計算和優化等領域有廣泛的應用。本文從正定矩陣的定義出發，逐步闡述了正定矩陣的幾個重要性質，包括與二次型的關係、逆矩陣的性質、Cholesky 分解、行列式、特徵分解等等。這些性質不僅有助於加深我們對正定矩陣的認識，而且也為我們解決實際問題提供了實用的工具。