SARIMAX模型的全面解析

一、什麼是SARIMAX模型

SARIMAX（Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average with Exogenous Variables）是ARIMA模型的拓展版本，在ARIMA模型基礎上加入了外生變量（Exogenous Variables）的影響因素，用於解決ARIMA模型無法解釋的影響因素。SARIMAX模型常用於時間序列的預測和分析。

SARIMAX模型的數學表達式如下：

    SARIMAX(p,d,q)x(P,D,Q)m

其中，p、d、q、P、D、Q分別代表模型中的自回歸（AR）、差分（I）、移動平均（MA）和季節性自回歸、季節性差分、季節性移動平均的階數，m則代表季節性因素的周期。

二、如何建立SARIMAX模型

建立SARIMAX模型的關鍵是選擇合適的p、d、q、P、D、Q和m參數。常見的建模方法一般包括如下幾個步驟：

1.數據處理

首先對數據進行處理和預處理，例如平穩化、去趨勢等，以保證模型的建立和預測的準確性。

2.確定模型階數

採用ACF和PACF圖確定自回歸（AR）和移動平均（MA）的階數，採用差分法確定差分（I）的階數，採用季節性差分法和ACF、PACF進行模型初步篩選。

3.建立初步模型

根據初步篩選的結果，建立初步模型，利用貝葉斯信息準則（BIC）或赤池信息準則（AIC）對模型進行評價和篩選，選擇最優模型。

4.殘差檢驗

對模型建立後的殘差進行檢驗，排除殘差不符合正態性、平穩性和獨立性等假設的情況，以保證模型的有效性和準確性。

5.預測

基於建立好的SARIMAX模型，進行預測和分析，得到對應的結果或結論。

三、SARIMAX模型的優缺點

1.優點

SARIMAX模型具有較強的適應性和預測能力，能夠對時間序列數據進行有效建模和預測，也可以加入外生變量的影響因素進行分析和預測。此外，SARIMAX模型具有較高的可解釋性和可視化性，易於分析和理解。

2.缺點

SARIMAX模型需要基於時間序列數據建立模型，因此對於無法獲取時間序列數據的問題，該模型的應用範圍會受到限制。此外，如果外生變量的數據量較大，模型的建立和分析就會變得較為繁瑣和複雜。

四、代碼示例

1.數據預處理

import pandas as pd
from datetime import datetime
import matplotlib.pylab as plt

#讀取數據
data=pd.read_csv('data.csv')
dateparse=lambda dates:datetime.strptime(dates,'%Y-%m')
data=pd.read_csv('data.csv',parse_dates=['Month'],index_col='Month',date_parser=dateparse)
print(data.head())

#數據平穩化
fig=plt.figure(figsize=(12,8))
ax1=fig.add_subplot(211)
plt.plot(data)
ax1.set_xlabel('Date')
ax1.set_ylabel('Data')
ax1.set_title('Original Data')

ax2=fig.add_subplot(212)
plt.plot(data.diff())
ax2.set_xlabel('Date')
ax2.set_ylabel('Data')
ax2.set_title('Differenced Data')
plt.show()

2.模型建立

import statsmodels.api as sm

#模型階數估計
fig=plt.figure(figsize=(12,8))
ax1=fig.add_subplot(211)
fig=sm.graphics.tsa.plot_acf(data.diff().dropna(),lags=40,ax=ax1)
ax2=fig.add_subplot(212)
fig=sm.graphics.tsa.plot_pacf(data.diff().dropna(),lags=40,ax=ax2)

#模型擬合
model=sm.tsa.statespace.SARIMAX(data,order=(1,1,1),seasonal_order=(1,1,1,12),enforce_stationarity=False,enforce_invertibility=False)
results=model.fit()
print(results.summary())

3.模型檢驗和預測

#殘差檢驗
results.plot_diagnostics(figsize=(16,8))
plt.show()

#模型預測
pred=results.get_prediction(start=pd.to_datetime('2019-01'),dynamic=False)
pred_ci=pred.conf_int()
ax=data['2014':].plot(label='observed')
pred.predicted_mean.plot(ax=ax,label='One-step ahead Forecast',alpha=.7,figsize=(14,7))
ax.fill_between(pred_ci.index,pred_ci.iloc[:,0],pred_ci.iloc[:,1],color='k',alpha=.2)
ax.set_xlabel('Date')
ax.set_ylabel('Data')
plt.legend()
plt.show()