模擬退火算法優缺點分析

一、原理介紹

模擬退火算法是一種隨機優化算法，從物理上模擬金屬退火的過程。其起源於研究固體物質在高溫下的熱力學性質，後來在組合優化領域被廣泛應用。

其基本思想是利用隨機搜索的方式，以一定的概率接受差解，從而避免算法陷入局部最優解。該算法通常包括三個部分：初始解生成、狀態更新和最優解更新。

以解決TSP問題為例，首先生成一個初始解，例如隨機生成一條路徑作為出發點。然後針對每個狀態，以一定概率接受更劣的解，即只有在概率p內才能接受更劣的解。最後，不斷迭代更新狀態，直到達到預設的終止條件（如迭代次數或溫度）。

二、優點

1、全局優化

相較於其他局部搜索算法（如梯度下降），模擬退火算法具有全局搜索的特點。其中主要原因在於該算法引入了隨機因素，從而有機會跳出當前的局部最優解，向全局最優解方向搜索。

2、易於實現

相較於其他啟發式算法（如遺傳算法），模擬退火算法實現簡單，且不需要過多的領域知識。只需要定義好初始解的生成方式、狀態的轉移方式以及溫度的更新方式即可。另外，由於算法沒有其他算法中所需要的參數（如種群大小、交叉概率等），因此調參也相對簡單。

3、可以解決非線性問題

模擬退火算法可以用來解決非線性問題，具有很好的適應性。這類問題往往涉及到多個約束條件，且解空間多樣性較大，應用傳統的算法往往不容易找到全局最優解。但是模擬退火算法可以隨機探索解空間，且在搜索過程中不斷優化當前解，因此其具有解決這類問題的能力。

三、缺點

1、收斂速度相對較慢

模擬退火算法通過隨機探索和接受劣解的方式，雖然可以跳出局部最優解，但是其搜索速度通常較慢。在搜索過程中，算法需要花費大量的時間和計算資源來尋找局部最優解，因此較難適用於實時系統。

2、初始解對結果影響較大

初始解對模擬退火算法的結果影響較大，容易降低算法的收斂速度和精確度。因此，需要對初始解的生成方式進行深入的研究和優化。相較於其他啟發式算法，例如遺傳算法，模擬退火算法對初始解的要求較高，也是其在某些應用中表現欠佳的原因之一。

3、難以處理高緯度問題

模擬退火算法對於高維度問題（如大規模TSP問題）的處理效率較低，往往需要更長時間來搜索最優解。這是因為隨着維度的增加，搜索空間將呈指數級增長，算法的搜索速度也會變得相對較慢。對於這種情況，可以考慮使用一些高效的優化算法（如遺傳算法、蟻群算法等）。

四、代碼示例

#include 
using namespace std;
const double delta = 0.996, eps = 1e-8;
const int maxn = 10005;
double T, Ans = 1e18;
struct node{
    double x, y;
}a[maxn];
double sqr(double x){return x*x;}
double dist(node x, node y){return sqrt(sqr(x.x-y.x)+sqr(x.y-y.y));}
double calc(double T){
    node now = a[1], nxt;
    double d = 0;
    for (int i=2; i eps){
        for (int i=1; i<=100; i++){
            int x = rand()%n + 1, y = rand()%n + 1;
            while (x == y) y = rand()%n + 1;
            memcpy(a, b, sizeof(a));
            swap(a[x], a[y]);
            double tmp_ans = calc(T);
            double delta_ans = tmp_ans - now_ans;
            if (delta_ans < 0){
                now_ans = tmp_ans;
                memcpy(b, a, sizeof(a));
                if (now_ans < Ans){
                    Ans = now_ans;
                    printf("!! %.8lf\n", Ans);
                }
            }
            else{
                double tmp = (double)rand()/RAND_MAX;
                if (tmp < exp(-delta_ans/T)){
                    now_ans = tmp_ans;
                    memcpy(b, a, sizeof(a));
                }
            }
        }
        T *= delta;
    }
    memcpy(a, b, sizeof(a));
}
int main(){
    srand((unsigned)time(0));
    scanf("%d", &n);
    for (int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y);
    }
    random_shuffle(a+1, a+1+n);
    T = 500;
    SA();
    printf("%.8lf\n", Ans);
}