奇異值是什麼意思

一、什麼是奇異值？

奇異值（Singular Value）是線性代數中的一個概念，特別地，在矩陣理論中，奇異值是一個非常基礎的概念。一個n行m列的矩陣A的奇異值是指矩陣AA^T中特徵值的平方根，或者是A^T A中特徵值的平方根。也可以表述成一個矩陣A=UΣV^T的分解形式，其中U和V是方陣，Σ是奇異值矩陣，它的主對角元素就是A的奇異值。其中U的每一列都是AAT的特徵向量，V的每一列都是ATA的特徵向量，Σ是由A的奇異值按照從大到小排列而構成的一個對角矩陣。

二、奇異值的應用場景

奇異值可以用來描述一個矩陣的秩、特徵向量和矩陣對角化等。它在數據降維、矩陣壓縮和圖像處理等領域也有着廣泛的應用。

三、奇異值分解（SVD）

奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一種基礎的矩陣分解方法，可以將一個m * n矩陣A分解成三個矩陣的乘積：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩陣，Σ是奇異值矩陣。SVD可以用於矩陣的壓縮和降維，也可以用於分類和聚類等問題。

四、SVD在推薦系統中的應用

SVD可以通過降低原始矩陣的秩，來提取矩陣的潛在特徵。在推薦系統中，我們可以使用SVD來對用戶-物品矩陣進行分解，從而得到用戶的興趣向量和商品的屬性向量。這兩個向量的內積，可以用來預測用戶對某個商品的評分，從而為用戶提供個性化的推薦服務。

import numpy as np
from scipy.sparse.linalg import svds

def recommend(ratings_matrix, user_rating, k=10):
    U, sigma, Vt = svds(ratings_matrix, k=k)
    sigma = np.diag(sigma)
    predicted_rating = np.dot(np.dot(U, sigma), Vt)
    user_row = user_rating - 1
    user_predicted_rating = predicted_rating[user_row, :]
    sorted_indices = np.argsort(user_predicted_rating)[::-1]
    recommendations_indices = sorted_indices[:10]
    return recommendations_indices

五、SVD的缺陷

儘管SVD在推薦系統中表現出色，但是它也有其缺陷。SVD需要將用戶-物品矩陣分解成三個矩陣，這需要消耗巨大的計算資源和存儲資源。另外，SVD在處理非常稀疏的矩陣時，可能會出現錯誤和不穩定的情況。