fzero函數matlab的詳解

一、fzero函數matlab的概述

fzero函數是matlab中的一個非常重要的函數，它可以用來解非線性方程，即找到一個方程的根。fzero函數使用單點迭代法和有限差分法，基於單調性找到根，這使得它對於絕大多數的函數都是可用的。fzero函數的基本語法為：

x = fzero(fun,x0)

其中fun是一個函數句柄，表示需要解的非線性方程，x0是一個初始點，表示從哪個點開始找根。fzero函數會返回一個根，如果找不到根或者找到多個根，會返回NaN。需要注意的是，輸入的函數必須滿足下列條件：

1、在x0和根之間的區間上具有單調性。也就是說，在這個區間上，函數要麼單調遞增，要麼單調遞減，而不會在這個區間上折返。

2、x0必須是方程的一個根或者是方程的兩個根之間的一個點。

3、函數在其定義域內必須是連續的，並且根必須在定義域內。如果函數是不連續的，在x0處有一個垂直的漏斗狀間斷點，正是這個點導致fzero函數無法使用。如果x0遠離根太遠，fzero函數將沒有足夠的精度來尋找根。

二、fzero函數matlab的應用

fzero函數在解非線性方程時非常有用，下面我們通過幾個例子來演示它的應用。

1、求函數在某點的導數值

首先，我們來看一個非常簡單的例子，求函數在某點的導數值。假設我們有一個函數：

function y = myfun(x)
y = x^2 - 3*x + 2;
end

現在，我們想要求出函數在x=2處的導數值。我們可以使用fzero函數來尋找函數的一次導數的零點，即函數的斜率為0的點。為了求導數，我們需要對函數進行一次求導，得到：

function y = myfun_der(x)
y = 2*x - 3;
end

接下來，我們使用fzero函數來尋找函數的一次導數的零點：

x = fzero(@myfun_der,2);

上述代碼中，@myfun_der是一個函數句柄，表示我們要尋找一個關於x的方程的根，這個關於x的方程是myfun_der在x = 2處的導數。結果表明，函數在x=2處的導數為1。

2、尋找函數的極值點

接下來，我們將演示如何使用fzero函數來尋找函數的極值點。我們仍然使用上面的函數myfun(x)。

首先，我們需要找到函數的極值點。我們可以使用函數fminbnd或fminsearch來找到函數的最小值。對於這個函數，它的最小值是在x=1.5左右。我們接下來使用fzero函數來尋找這個點的最大值。定義一個函數myfun_neg(x)，它相當於我們得到的函數y=-myfun(x)，即y=-x^2+3x-2，這個函數也有一個最小值。我們的目標是為這個函數找到一個最大值，它的坐標應該是x=1.5。

function y = myfun_neg(x)
y = -x^2 + 3*x - 2;
end

max = fzero(@myfun_neg,1.5);

上述代碼fzero函數的作用是，尋找函數myfun_neg(x)的根，即尋找函數myfun(x)的最大值所在的位置。結果將會是1.5，這是我們預期的結果。

3、解一個非線性的方程

fzero函數可以用來解非線性方程。我們可以使用這個函數來求解根號2的值，即sqrt(2)。為了找到根號2，我們可以定義一個非線性方程函數fun(x)，其中x是我們要求解的變量。

function y = fun(x)
y = x^2 - 2;
end

sqrt2 = fzero(@fun,1);

上述代碼中，fzero函數的輸入是一個函數句柄和一個初始點，它會嘗試找到方程fun(x)的一個根。為了獲得根號2，我們需要給出一個初始點，可以使用1，結果將會是1.4142135。

三、fzero函數matlab的注意事項

fzero函數在使用時需要注意以下幾點：

1、初始點的選擇

fzero函數的初始點對結果的精確度有很大的影響。如果初始點太遠離根，那麼它可能找不到根，或者找到的根並不是我們需要的那個根。在選擇初始點時，應該了解方程的根的位置，盡量選擇離我們所需根最近的點作為初始點。當然，也可以使用一些其他的算法，例如bisection、secant、Newton等算法來尋找根。

2、單調性的要求

fzero函數只能尋找在一個區間上具有單調性的函數的根。如果函數在某個區間上出現折返，這個函數不能使用fzero函數來尋找根。如果不確定函數是否有單調性，可以嘗試使用plot函數來繪製函數的圖像，看看它是否滿足單調性的要求。

3、函數的連續性

fzero函數要求函數在其定義域內必須是連續的，並且根必須在定義域內。如果函數是不連續的，在x0處有一個垂直的漏斗狀間斷點，正是這個點導致fzero函數無法使用。如果x0遠離根太遠，fzero函數將沒有足夠的精度來尋找根。

四、總結

fzero函數是matlab非常重要的一個函數，它可以用來解非線性方程，即找到一個方程的根。fzero函數使用單點迭代法和有限差分法，基於單調性找到根，這使得它對於絕大多數的函數都是可用的。在使用fzero函數時需要注意初始點的選擇、單調性的要求和函數的連續性。fzero函數是matlab中一個非常強大的工具，可以應用於各種數學問題的求解。