ceres庫：優化問題的求解工具

一、ceres庫簡介

ceres庫是google發布的用於解決非線性最小二乘問題的工具。非線性最小二乘問題是指要最小化一個帶有非線性項的誤差函數，這個函數通常會隨着自變量的變化而變化，因此求解非線性最小二乘問題需要用到迭代優化算法。目前主要的迭代優化算法有Levenberg Marquardt算法和Gauss-Newton算法等。

ceres庫提供了一系列的C++接口，可以用於求解各種類型的非線性優化問題。而且，ceres庫還可以進行自動求導和數值積分等操作，因此非線性優化問題的求解變得相對簡單。

二、ceres庫的基本用法

1、定義優化問題

首先，我們需要定義一個優化問題，這個優化問題包含若干個誤差方程，每個誤差方程都包含了一些自變量和參數。例如，我們要求解以下非線性優化問題：

$$ \min_{x,y,z} (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-4)^2 $$

在ceres庫中，我們可以使用以下代碼定義這個優化問題：

// create the problem
ceres::Problem problem;

// add the cost functions
ceres::CostFunction* cost_function = new ceres::AutoDiffCostFunction(new TestCostFunction);
problem.AddResidualBlock(cost_function, NULL, &x, &y, &z);

其中，TestCostFunction是一個自定義的誤差函數，它包含三個參數，分別是x、y和z。我們將這個誤差函數用AutoDiffCostFunction封裝起來，然後使用AddResidualBlock添加到問題中。

2、設置優化選項

接下來，我們需要設置一些優化選項，以告訴ceres庫如何運行。例如，可以設置優化算法的類型、最大迭代次數等參數。以下是一個示例：

// set the solver options
ceres::Solver::Options options;
options.linear_solver_type = ceres::DENSE_QR;
options.max_num_iterations = 100;
options.minimizer_progress_to_stdout = true;

3、求解優化問題

最後，我們可以使用ceres庫提供的Solver求解器來求解這個優化問題：

// run the solver
ceres::Solver::Summary summary;
ceres::Solve(options, &problem, &summary);

求解完成後，我們可以得到優化問題的解，也可以得到求解的狀態，例如最優解、優化耗時等信息。

三、ceres庫的進階用法

1、使用數值積分

除了求解非線性最小二乘問題外，ceres庫還可以進行數值積分。數值積分是將一個連續函數轉化為離散數據的過程，它通常用於求解一些複雜的數學問題。以下是一個使用ceres庫進行數值積分的示例：

ceres::DynamicAutoDiffCostFunction*
    exponential_cost_function =
        new ceres::DynamicAutoDiffCostFunction(
            new ExponentialCost(Gv, times));

exponential_cost_function->AddParameterBlock(1);
exponential_cost_function->AddParameterBlock(1);
exponential_cost_function->AddParameterBlock(2);
exponential_cost_function->AddParameterBlock(1);

exponential_cost_function->SetNumResiduals(num_samples_);

ceres::Integrator* integrator = new ceres::MidPointIntegrator(0.01, 10);

ceres::Solve(core::kSolveOptions, problem, &summary);

double x = 1, y = 1, z = 1;
for (const auto& item : states)
{
    const double* params[] = {&x, &y, &z};
    EXPECT_TRUE(problem.Evaluate(item.parameters, item.derivatives, params, item.residuals, NULL));
}

2、使用自動求導

使用自動求導可以大大簡化非線性優化問題的求解過程。在ceres庫中，我們可以使用AutoDiffCostFunction封裝求導過程，然後將其添加到優化問題中。以下是一個使用ceres庫進行自動求導的示例：

// define the cost function
struct CostFunctor {
  template 
  bool operator()(const T* const x, T* residual) const {
    residual[0] = T(10.0) - x[0];
    return true;
  }
};

// create the problem
ceres::Problem problem;

// add the cost function
ceres::CostFunction* cost_function =
    new ceres::AutoDiffCostFunction(new CostFunctor);
problem.AddResidualBlock(cost_function, NULL, &x);

3、使用ceres庫進行魯棒優化

魯棒優化是一種特殊的非線性優化技術，它可以有效地處理離群點和異常值。在ceres庫中，我們可以用HuberLoss和CauchyLoss等魯棒核函數代替傳統的平方誤差。以下是一個使用HuberLoss進行魯棒優化的示例：

ceres::LossFunction* loss_function = new ceres::HuberLoss(1.0);

ceres::DynamicAutoDiffCostFunction* robust_cost_function =
    new ceres::DynamicAutoDiffCostFunction(
        new RobustCost(x, y, z));

robust_cost_function->AddParameterBlock(2);
robust_cost_function->AddParameterBlock(1);
robust_cost_function->AddParameterBlock(1);

robust_cost_function->SetNumResiduals(1);
problem.AddResidualBlock(robust_cost_function, loss_function, &_a[0], &_p[0], &_t[0]);

四、總結

ceres庫是一款非常好用的非線性優化工具，它可以幫助我們解決各種類型的非線性最小二乘問題。在實際應用中，我們可以根據具體的需求選擇不同的優化算法以及魯棒核函數，從而得到更加準確的優化結果。