Python VAR模型

一、VAR模型介紹

Vectro Autoregression Model（簡稱VAR模型）是一種多元時間序列的處理方法，它能夠對多個觀測變量之間的相互影響建立動態系統，通過殘差協方差矩陣進行樣本估計。

VAR模型假定每個時間序列的變量，都可以通過自身滯後值和其他變量的滯後值來進行建模。具體地說，VAR模型假設每個時間序列是其他時間序列的函數。例如，對於雙變量時間序列，y1和y2，VAR模型可以表示為：

y1_t = α11*y1_(t-1) + α12*y2_(t-1) + ε_t1
y2_t = α21*y1_(t-1) + α22*y2_(t-1) + ε_t2

其中，ε_t1和ε_t2是誤差項，表示因未能考慮其他影響因素而無法解釋的變異，而αij表示yj對yi的影響係數。VAR模型通常假設誤差項具有白噪聲性質，即互不相關、均值為0、方差不變。

二、VAR模型參數估計

對VAR模型的參數 αij，可以通過最小化殘差平方和來進行樣本估計，常用的估計方法有OLS法、MLE法等。

1.OLS法

最小二乘OLS法是VAR模型估計中最簡單和經典的方法之一。用OLS法估計VAR模型應包括以下幾個步驟：

（1）構建VAR模型。

#引入模型
from statsmodels.tsa.api import VAR

#假設我們有一個三變量時間序列df，可以進行如下操作
model = VAR(df)

（2）對自變量和因變量進行差分處理來滿足VAR模型的平穩性要求。

#使用差分後的數據進行分析
diff_df = df.diff().dropna()

#針對差分數據進行建模
diff_model = VAR(diff_df)

（3）根據條件 (1) 和 (2) 式的OLS方法來估計VAR模型的係數。

#求解 VAR 模型中的擬合參數結果
results = model.fit(maxlags=15, ic='aic', )

2.MLE法

極大似然MLE法是在給定時間序列數據的基礎上，從一個模型族中找出一個最優模型，使得觀察到的數據概率最大。

VAR模型的MLE算法估計可以通過以下代碼實現：

results = model.fit(maxlags=20, method='ols', ic='aic', )
results = model.fit(maxlags=20, method='ols', ic='aic', )

三、VAR模型的預測

對於已經估計好的VAR模型，我們可以使用它來進行預測。

假設已經擬合好一個有p 階滯後的 VAR 模型，則該模型可以表示如下：

Y_t = A_1*Y_(t-1) + A_2*Y_(t-2) + …… + A_p*Y_(t-p) + u_t

其中，A_i全是大小為k*k的係數矩陣，u_t是大小為k*1的異方差白噪聲序列。

我們可以直接使用ARIMA模型的predict函數來對VAR模型進行預測：

#使用ARIMA模型的predict函數進行預測
#該方法會返回未來isample個時間點的預測值和方差
predict_sample = model_fit.predict(start=test.index[0], end=test.index[-1], dynamic=False)

#進一步處理預測結果
forecast = test.copy()
for col in df.columns:
    forecast.loc[:, col] = predict_sample[col]

四、VAR模型的評價

對於VAR模型的評價，有多個指標可供選擇，例如：

1.殘差統計量檢查

殘差統計量檢查是檢測模型是否存在問題的常用辦法。可以對估計好的VAR模型進行以下檢驗：

results.test_causality('y1', ['y2', 'y3'], kind='f')

2.方差分解(Variance Decomposition)

方差分解可以確定每個變量對其它變量的預測貢獻度，以評估VAR模型的表現。VAR模型的方差分解可以計算每個變量的波動是由其他變量的波動，還是由本身決定的。方差分解可以使用：

irf = results.irf(periods=10, var_order=6)
irf.plot_cum_effects()

3.信息標準檢驗

信息標準檢驗也是評估VAR模型表現的一種方法。它可以度量模型的擬合優度。常用的信息標準方法有AIC、BIC等。

results.aic
results.bic

五、總結

本文介紹了VAR模型的基本原理、參數估計、預測和評價方法。VAR模型作為一種多變量時間序列的模型，可以很好地描述多個時間序列之間的關係和隨時間變化的趨勢。然而，在實際應用中，我們仍需注意時間序列數據的平穩性和外生變量的因素對預測結果的影響。