Flow++：深入理解流體仿真

流體仿真是計算機動畫領域的一種重要技術，它涉及流體運動、壓力、密度、溫度等物理量的數值解算。而 Flow++ 則是一個開源的 Python 庫，用於實現各種流體仿真算法，並包含了許多針對常見流體場情況的可配置示例。

一、概述

Flow++ 採用了 TensorFlow2 作為計算框架，由於 TensorFlow2 本身包含自動微分機制，在流體仿真中可以支持實時的反向傳播求解，並減少了手動進行梯度計算的繁瑣過程。而 Flow++ 採用的是非常具有代表性的格子 Boltzmann 方法進行流體模擬，該方法在分子動力學模擬、統計物理學領域有廣泛應用，對於流場模擬的網格劃分非常自然。

Flow++ 的核心組件包括 Boltzmann 傳遞算子、邊界條件處理函數、宏觀物理量計算以及反向傳播求解等。其中，Boltzmann 傳遞算子由速度坐標和權重係數確定；邊界條件處理函數涵蓋了全反射、光滑牆面、強制流速等情況；宏觀物理量計算則用於輸出流體的壓力、密度、溫度等宏觀物理量。

二、流場建模

流體模擬需要針對具體場景建立相應的數學模型。Flow++ 支持的建模方法包括數值行為模型和基於圖形模型的方法。數值行為模型基於 Navier-Stokes 方程直接求解，因此適用於實際情況相對明確的場景；而基於圖形模型的方法則可以通過快速建模手段實現複雜場景的模擬。

import tensorflow as tf
import flowpp as fp

# 建立單向盤流場模型
model = fp.models.SingleDirectionDisk(
    resolution=(256, 256), delta_t=0.01, viscosity=3e-4, radius=0.45)
tensor_shape = (1,) + model.resolution + (1,)

# 初始化傳遞算子
collision_operator = fp.operators.BGK(model.velocity_set, 1.0)
propagator = fp.operators.Propagator(model.velocity_set, model.compute_feq, collision_operator)

# 創建 tensorflow 佔位符
density = tf.placeholder(tf.float32, shape=tensor_shape)
pressure = tf.placeholder(tf.float32, shape=tensor_shape)
velocity = tf.placeholder(tf.float32, shape=tensor_shape + (2,))

# 宏觀量計算
momentum = model.compute_momentum(density, velocity)
tensor_pressure = model.compute_pressure(density, velocity, momentum)
tensor_velocity = model.compute_velocity(density, momentum)

# 定義邊界條件
index_x = fp.grid.GridIndex(model.resolution, 0)
boundary = fp.conditions.BoundaryConditionSet(
    model.velocity_set, index_x, model.density_set, tensor_pressure)

三、模擬計算

建立好流場模型後，我們就可以進行模擬計算了。在 Flow++ 中，可以通過 execute 函數來進行多步迭代計算。在每一步迭代中，我們需要根據當前的流體參數，通過 Boltzmann 傳遞算子計算每個格子上的分布函數，之後應用邊界條件和碰撞傳播算子，並計算宏觀物理量。

import numpy as np

# 初始化變量
density_value = np.ones(tensor_shape)
pressure_value = np.zeros(tensor_shape)
velocity_value = np.zeros(tensor_shape + (2,))

# 迭代計算
for i in range(10):
    f_eq = model.compute_feq(density_value, velocity_value)
    f_plus = propagator.apply(f_eq, velocity_value) + boundary.apply(f_eq, velocity_value, density_value, pressure_value)
    density_value, velocity_value = model.update_density_and_velocity(f_plus)
    pressure_value = model.compute_pressure(density_value, velocity_value)

四、示例應用

Flow++ 包含了多個示例應用，這些示例應用可以幫助用戶更好地了解使用 Flow++ 進行流體模擬時的流程。例如，可以通過 Backward facing step 示例模擬不同速度的氣體在突然變窄的通道中的流動以及縱橫波（Kelvin-Helmholtz instability）的形成；也可以通過 Cylinder merging 示例模擬兩圓柱體在不同的 Reynolds 數下相互合併的情況。

以下為 Cylinder merging 示例中的代碼演示：

import numpy as np
import tensorflow as tf
import flowpp as fp

model = fp.models.CylinderMerging(
    resolution=(512, 512), delta_t=0.01, viscosity=3e-4,
    radius_a=0.13, radius_b=0.08, dx=0.15, dy=0.15, ra=2.0, rb=1.0)

density = tf.placeholder(tf.float32, shape=model.shape)
pressure = tf.placeholder(tf.float32, shape=model.shape)
velocity = tf.placeholder(tf.float32, shape=model.shape + (2,))

momentum = model.compute_momentum(density, velocity)
tensor_pressure = model.compute_pressure(density, velocity, momentum)
tensor_velocity = model.compute_velocity(density, momentum)

collision_operator = fp.operators.BGK(model.velocity_set, 1.0)
propagator = fp.operators.Propagator(
    model.velocity_set, model.compute_feq, collision_operator)

f_0 = model.compute_feq(density, velocity)
f_plus = propagator.apply(f_0, velocity)
density, velocity = model.update_density_and_velocity(f_plus)

f_b = boundary.apply(f_plus, velocity)
density, velocity = model.update_density_and_velocity(f_b)

五、總結

Flow++ 是一個優秀的開源 Python 庫，可以用於實現各種流體仿真算法，支持當前流體仿真領域的多種數學建模方法。其優點在於使用 Tensorflow2 等先進的機器學習框架實現了自動微分、反向傳播等計算機動畫領域的常見技術，並通過多個示例應用讓用戶可以更好地了解庫的使用方法。