學生t分布簡介

一、t分布是什麼？

t分布是一種概率分布，用以描述小樣本量下的平均數估計值的不確定性。它看起來像標準正態分布，但是更寬一些，也更平坦一些。t分布和正態分布一樣，都是關於均值對稱的。但是，t分布的形狀依賴於樣本大小。

在數據分析中，t分布被廣泛應用於小樣本量下的假設檢驗和置信區間的計算。通常情況下，如果樣本量大於30個，可以使用正態分布來代替t分布。

# Python 代碼示例
import scipy.stats as stats

# 指定自由度（df=29）計算在0.025置信水平下的臨界值
stats.t.ppf(q=0.025, df=29)

二、t分布的概率密度函數

t分布的概率密度函數形式較為複雜，但是可以使用Python的庫來方便地進行計算。例如，使用scipy.stats庫可以很容易地獲得t分布的概率密度函數值。

下面是展示t分布概率密度函數在不同自由度下的圖表。

# Python 代碼示例
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

x = np.linspace(-4, 4, 1000)
df_values = [1, 2, 5, 30]
for df in df_values:
    t_dist = stats.t(df=df)
    plt.plot(x, t_dist.pdf(x), label=f"df={df}")
plt.legend()
plt.show()

三、t分布與正態分布之間的關係

在樣本數量足夠大的情況下，t分布將越來越接近於標準正態分布。這是因為隨着自由度的增加，t分布越來越集中在正常分布周圍。因此，當我們在樣本數量足夠大的情況下，我們可以假設服從t分布的數據也服從標準正態分布。

可以通過下面的函數來比較t分布和標準正態分布的差異。

# Python 代碼示例
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

x = np.linspace(-4, 4, 1000)
t_dist = stats.t(df=30)
plt.plot(x, t_dist.pdf(x), label="t-dist")
n_dist = stats.norm()
plt.plot(x, n_dist.pdf(x), label="normal-dist")
plt.legend()
plt.show()

四、t分布用於假設檢驗

在數據分析中，t分布被廣泛應用於小樣本量下的假設檢驗。下面是一個使用t分布進行雙側t檢驗的Python代碼示例：

# Python 代碼示例
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 隨機生成兩個小樣本
sample1 = np.random.normal(loc=5, scale=2, size=20)
sample2 = np.random.normal(loc=6, scale=2, size=20)

# 計算平均值和標準差
mean1, mean2 = np.mean(sample1), np.mean(sample2)
std1, std2 = np.std(sample1, ddof=1), np.std(sample2, ddof=1)

# 計算t值及其p值
t_value, p_value = stats.ttest_ind(sample1, sample2, equal_var=False)

print(f"t value: {t_value:.3f}, p value: {p_value:.4f}")

五、小結

學生t分布是一種經典的概率分布，用於分析小樣本量下的情況。它是假設檢驗和置信區間計算中的重要工具。在自由度足夠大的情況下，t分布逐漸趨向於標準正態分布，這樣就可以將t分布問題簡化為正態分布問題。在Python中，我們可以使用scipy.stats庫輕鬆地處理t分布問題。