線性判別分析（Linear Discriminant Analysis）

一、算法概述

線性判別分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）是常用的一種分類算法。它是一種有監督學習方法，也就是需要已知每個樣本的類別標籤。LDA從特徵空間中提取線性判別信息，用於在低維空間中對數據進行分類。

LDA的主要思想是：將樣本投影到一條直線上，使得同類之間的距離儘可能小，不同類之間的距離儘可能大。因此，LDA在降維同時也完成了分類任務。

二、算法流程

LDA的算法流程如下：

1. 計算每個類別的均值向量。
2. 計算類間散度矩陣和類內散度矩陣。
3. 求出最大化目標函數的投影方向。
4. 降維並進行分類。

三、算法實現

第一步：計算均值向量

設有樣本集$D={x_1, x_2, …, x_n}$，其中$x_i\in R^d$表示第$i$個樣本。將樣本按照類別分開，設有$k$個類別。第$i$類樣本的個數為$n_i$，均值向量為$u_i$。

import numpy as np

def mean_vectors(X, y):
    class_labels = np.unique(y)
    n_classes = class_labels.shape[0]
    mean_vectors = np.zeros((n_classes, X.shape[1]))
    for cl, label in enumerate(class_labels):
        mean_vectors[cl,:] = np.mean(X[y==label], axis=0)
    return mean_vectors

第二步：計算類間散度矩陣和類內散度矩陣

類間散度矩陣$S_B$和類內散度矩陣$S_W$的計算方式如下：

$$S_B = \sum_{i=1}^{k}n_i(u_i – u)(u_i – u)^T$$
$$S_W = \sum_{i=1}^{k}\sum_{x\in D_i}(x-u_i)(x-u_i)^T$$
其中，$u$為所有樣本的均值向量，$S_B$表示類別之間的差異，$S_W$表示類別內部的差異。

def scatter_matrices(X, y):
    mean_vectors = mean_vectors(X, y)
    n_features = X.shape[1]
    s_within = np.zeros((n_features, n_features))
    s_between = np.zeros((n_features, n_features))
    mean_overall = np.mean(X, axis=0)
    for cl, mv in enumerate(mean_vectors):
        class_sc_mat = np.zeros((n_features, n_features))
        for row in X[y == cl]:
            row, mv = row.reshape(n_features, 1), mv.reshape(n_features, 1)
            class_sc_mat += (row - mv).dot((row - mv).T)
        s_within += class_sc_mat        
        n = X[y==cl,:].shape[0]
        mean_diff = (mv - mean_overall).reshape(n_features, 1)
        s_between += n * mean_diff.dot(mean_diff.T)
    return s_within, s_between

第三步：求投影方向

為了求出最大化目標函數的投影方向，需要計算矩陣$S_W^{-1}S_B$的特徵向量和特徵值。在計算投影矩陣的時候，我們可以取最大的$d’$個特徵向量（$d’$表示投影后保留的維數）。

def lda(X, y, n_components):
    s_within, s_between = scatter_matrices(X, y)
    eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(np.linalg.inv(s_within).dot(s_between))
    eig_pairs = [(np.abs(eig_vals[i]), eig_vecs[:,i]) for i in range(len(eig_vals))]
    eig_pairs = sorted(eig_pairs, key=lambda k: k[0], reverse=True)
    proj_mat = eig_pairs[0][1].reshape(X.shape[1],1)
    for i in range(1,n_components):
        proj_mat = np.hstack((proj_mat, eig_pairs[i][1].reshape(X.shape[1],1)))
    return X.dot(proj_mat), proj_mat

第四步：降維並進行分類

使用投影矩陣將樣本投影到新的低維空間中，並使用分類算法進行分類。下面的例子中，我們使用支持向量機作為分類器。

from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC

iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

X_train_lda, proj_mat = lda(X_train, y_train, 2)
X_test_lda = X_test.dot(proj_mat)

classifier = SVC()
classifier.fit(X_train_lda, y_train)
score = classifier.score(X_test_lda, y_test)
print("Accuracy:", score)

四、總結

LDA作為一種常用的分類算法，在特徵提取和降維方面有着廣泛的應用。通過計算均值向量和散度矩陣，我們可以求出最大化目標函數的投影方向，從而實現對數據的降維和分類。