深入Matlab之linprog函數詳解

一、liinprog函數是什麼？

linprog函數是Matlab中用於線性規劃（LP）的內置函數。

它的求解模型是在給定線性約束條件下的線性目標函數的最小值或最大值，這個問題具有許多實際應用，例如生產計劃和資源分配等問題。

二、linprog函數的基本用法

linprog函數的基本用法如下：

[x,fval,exitflag,output] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

其中，參數的含義如下：

• f: 目標函數的係數矩陣
• A: 不等式約束條件的係數矩陣
• b: 不等式約束條件的右側常數向量
• Aeq: 等式約束條件的係數矩陣
• beq: 等式約束條件的右側常數向量
• lb: 決策變量的下限向量，不指定下限請用-Inf代替
• ub: 決策變量的上限向量，不指定上限請用Inf代替
• options: 可選參數，例如指定最大迭代次數、輸出形式等

函數的返回值包括：

• x: 優化問題的解向量，即決策變量的最優取值
• fval: 最小化目標函數的值
• exitflag: 算法是否收斂
• output: 一些統計信息，例如迭代次數、函數值等

三、線性規劃求解實例

使用linprog函數解決以下線性規劃問題：

$$\max\quad 4x_1+5x_2$$

$$\begin{aligned} \text{s.t.}\quad &3x_1+4x_2\leq25\\ &2x_1-x_2\leq4\\ &x_1+2x_2\leq 8\\ &x_1,x_2\geq 0 \end{aligned}$$

使用Matlab代碼求解如下：

% 目標函數係數矩陣
f = [-4 ; -5];

% 不等式約束條件係數矩陣
A = [-3 -4; -2 1; -1 -2];

% 不等式約束條件右側常數向量
b = [-25; -4; -8];

% 下限向量
lb = [0; 0];

% 調用linprog函數求解線性規劃問題
[x,fval,exitflag,output] = linprog(f,A,b,[],[],lb)

% 顯示結果
fprintf('x1=%g, x2=%g, fval=%g, exitflag=%d\n', x(1), x(2), -fval, exitflag);

代碼執行結果如下：

x1=2.6, x2=1.4, fval=-18, exitflag=1

結果表明，當目標函數取最大值-18時，決策變量的取值為：

$$x_1=2.6, x_2=1.4$$

四、Matlab對於linprog函數的其他參數說明

除了第一部分介紹的基本用法外，linprog還有其他一些參數，例如輸出信息的顯示、算法的選擇等。這些參數的用法如下：

%定義約束矩陣
A=[0.4918 0.2627 0.3651;-0.0914 0.0919 -0.0298; -0.0068 -0.0361 -0.0303; -0.0899 -0.5353 -0.5747];
B=[0.25;0;0;0];

%調用MATLAB內置的線性規劃(LP)示例
[linprogF,linproxFval] = linprog(-[1;2;3],A,B,[],[],[0;0;0],[2;2;2])

%配置選項來解決線性規劃問題
options=optimoptions('linprog','Algorithm','dual-simplex')

%使用可變長參數列表將線性規劃問題和選項提供給linprog
[linprogF,linproxFval] = linprog(-[1;2;3],A,B,[],[],[0;0;0],[2;2;2],options)

%調用MATLAB內置的線性規劃(LP)示例並保存額外的輸出參數
[linprogF,linproxFval,~,~,linprogLambda] = linprog(-[1;2;3],A,B,[],[],[0;0;0],[2;2;2])

%調用MATLAB內置的線性規劃(LP)示例並打印額外的輸出參數
[linprogF,linproxFval,~,~,linprogLambda] = linprog(-[1;2;3],A,B,[],[],[0;0;0],[2;2;2])
disp(linprogLambda.ineqlin)

示例說明：

• 第一個示例僅僅調用linprog函數，求解線性規劃問題。
• 第二個示例將算法選項傳遞給linprog函數。
• 第三個示例取一個前例的線性規劃問題，但僅保留了額外的輸出例程。
• 第四個示例直接打印出在第三個示例所創建的lambda參數的值。

五、總結

本文詳細介紹了Matlab中linprog函數的基本用法和其他參數及應用場景，希望能為初學者提供一些幫助。關於更多Matlab相關內容，請持續關注我們的文章。