反證法經典例題分析

一、反證法經典例題及解題

反證法是數學證明中一種重要的證明方法。當我們需要證明一個命題時，如果直接證明困難，而假設其不成立，針對性地尋找矛盾，推導出其必然成立的結論，就可以證明原命題成立。下面以一個經典例題為例說明反證法的應用。

例題:

已知甲、乙兩人中，必有一人白天說謊，一人晚上說謊。甲說：“我白天說真話。”乙說：“我晚上說假話。”問：誰說的是真話，誰說的是假話？

通過研究甲、乙兩人的說法，很難直接得到結論，可以採用反證法。假設甲說謊話，則他晚上說謊，但是根據甲的說法，他白天說真話，產生矛盾。同樣假設乙說謊話，則他白天說謊話，但是根據乙的說法，他晚上說假話，也產生矛盾。因此，甲乙兩人的說法都存在矛盾，假設不成立，所以甲說的是真話，乙說的是假話。

根據上述例題的解題思路，我們可以總結出反證法的一般步驟，即先假設命題不成立，然後通過分析矛盾，推導出其必然成立的結論，從而證明原命題成立。

二、反證法經典例題高中數學

在高中數學中，反證法的應用非常廣泛。下面選取一道高中數學反證法經典例題進行說明。

例題:

已知函數 $f(x)$ 在 $x=0$ 處連續，且 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=1$，證明 $f(x)$ 在 $x=0$ 處可導。

這道題目要求證明函數 $f(x)$ 在 $x=0$ 處可導，而直接證明比較困難。我們可以採用反證法，假設 $f(x)$ 在 $x=0$ 處不可導，即存在一個正數 $\epsilon$，對於任意的正數 $\delta$，都存在 $x_1$ 和 $x_2$ 滿足 $|x_2-0|<\delta$，$|x_1-0|\epsilon$，其中 $A$ 是某個常數。

根據 $f(x)$ 在 $x=0$ 處連續和 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=1$ 的定義，可以得到：

$\lim\limits_{x \to 0} f(x)=0$。

因此，我們可以取 $\delta=\varepsilon$，則存在 $x_0$ 滿足 $|x_0-0|<\delta$，且 $|f(x_0)|<\dfrac{\epsilon}{2}$。由於 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=1$，所以對於上面的 $\delta=\varepsilon$，存在 $x_3$ 滿足 $|x_3-0|<\delta$，且 $1-\dfrac{\epsilon}{2}<\dfrac{f(x_3)}{x_3}<1+\dfrac{\epsilon}{2}$。

將 $x_1=x_0$，$x_2=x_3$，$A=1$ 代入可得：

$\left|\dfrac{f(x_3)-f(x_0)}{x_3-x_0}-1\right|>\varepsilon$。

而根據 $|f(x_0)|<\dfrac{\epsilon}{2}$ 和 $1-\dfrac{\epsilon}{2}<\dfrac{f(x_3)}{x_3}<1+\dfrac{\epsilon}{2}$，可以推導出：

$\left|\dfrac{f(x_3)-f(x_0)}{x_3-x_0}-1\right|<\varepsilon$。

由於前後兩式明顯矛盾，假設不成立，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 處可導。

三、反證法經典例題講解

在講解反證法經典例題時，我們可以通過精選一些經典性較強、代表性較好的反證法例題，深入淺出地講解反證法的相關知識點和技巧。

例題:

已知 $a,b,c>0$ 且 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}<4$，證明 $a^2+b^2+c^2<4abc$。

考慮採用反證法。假設 $a^2+b^2+c^2 \geqslant 4abc$，則

$\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \geqslant 4$。

根據 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}<4$，可以得到：

$\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \geqslant \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}>3$。

由於之前得到的不等式和這個不等式矛盾，因此要假設的條件不成立，即 $a^2+b^2+c^2<4abc$。

四、反證法經典例題至多至少

在反證法經典例題中，有一些涉及“至多”“至少”的問題，通常可以採用反證法進行求解。下面給出一個例題。

例題:

一個球隊有 $n$ 個人，他們依次編號為 $1,2,\cdots,n$。現在要求任選一些人，構成一個小隊。如果我們選擇的人中編號最大的是 $m$，則稱這個小隊是“以 $m$ 結尾的小隊”。請問，選擇多少個人，才能確保至少有一個“以 $m$ 結尾的小隊”？

假設至少選擇 $k$ 個人才能確保存在一個“以 $m$ 結尾的小隊”。根據題意，第 $k$ 個人要麼在小隊中，要麼不在小隊中。不妨設第 $k$ 個人在小隊中，則小隊中剩下 $k-1$ 個人，必須至少選擇 $n-k+1$ 個人才能確保存在一個人的編號大於 $m$。由於這 $n-k+1$ 個人中沒有 $m$，因此此時必然存在一個編號小於 $m$ 的人，與“以 $m$ 結尾的小隊”形成矛盾。同理，如果第 $k$ 個人不在小隊中，那麼必須選擇 $n-k+1$ 個人才能保證存在一個人的編號大於 $m$，此時必然存在一個編號小於 $m$ 的人，同樣與“以 $m$ 結尾的小隊”形成矛盾。因此，假設不成立，至多選擇 $n-1$ 個人就能確保存在一個“以 $m$ 結尾的小隊”。

五、反證法經典例題八年級

在初中數學中，反證法也是一種常用的證明方法。下面給出一個反證法在八年級數學中的例題。

例題:

一個自然數的個位數是 $5$，去掉個位數後縮小$3$倍得到另一個自然數。證明：這兩個自然數的差始終是 $45$ 的倍數。

考慮採用反證法。假設該自然數為 $5a$。去掉個位數，縮小 $3$ 倍後得到 $a$。

因為 $a$ 與 $5a$ 的個位數相同，可以推導出：

$a=10b+5$，其中 $b$ 是一個整數。

對 $5a$ 和 $3a$ 分別乘以 $10$ 後相減，可以得到：

$50b$。

由此可知，$5a$ 與 $3a$ 的差始終是 $45$ 的倍數。

六、反證法經典例題語文

除了在數學中運用比較廣泛外，反證法在語文中也有很多應用。下面給出一個語文中常見的反證法例題。

例題:

王勃是唐朝文學家，也是第一個進入翰林院的文學家。如果一定有前趙皇帝，那麼翰林院登第的第一位文學家就不會是王勃。

這道題目要求否定前提並給出結論，採用反證法最合適。假設第一位進入翰林院的文學家不是王勃，則必然有前趙皇帝。由於前趙時期沒有翰林院一說，所以假設不成立，因此結論是：不存在前趙皇帝。

七、反證法經典例題及答案

下面給出一個反證法經典例題及答案。

例題:

已知 $x,y$ 為質數，且 $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ 是整數，證明 $x=y$。

假設 $x \neq y$，不妨設 $x>y$。根據質數和整除的定義，可以得到:

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}$。

因為 $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ 是整數，所以 $\dfrac{x^2+y^2}{xy}$ 也是整數，即 $xy$ 是 $x^2+y^2$ 的約數，但是 $x^2+y^2$ 的質因數必須是 $4k+1$ 的形式，因此 $xy$ 必須是 $4k+1$ 的形式，而 $x,y$ 都是奇數，所以 $xy$ 是 $4k+1$ 的形式。但是$x^2+y^2$ 的質因數必須是 $4k+1$ 的形式，而 $x,y$ 都是奇數，所以 $x^2+y