Sobol序列詳解

一、Sobol序列算法

Sobol序列是一種低差異性序列（low discrepancy sequence），主要用於模擬和優化中的隨機抽樣。Sobol序列採用有限串的異或和代替隨機化，性質比純隨機序列更優。

Sobol序列的生成使用基礎網格點和生成矩陣，在每個生成步驟中，產生新的點，然後用它們來更新基礎點。

下面是Sobol序列的核心代碼示例：

def sobol_sequence(n, dim):
    # 初始化參數
    s = prime_table(dim)
    a = init_matrix(dim)
    v = init_points(n, dim)

    # 生成新的點
    for i in range(n):
        v[i] = sobol_point(i, a, s)

    return v
    
def sobol_point(n, a, s):
    res = [0] * len(a)
    
    for j in range(len(a)):
        while(n > 0):
            res[j] ^= (n%2) * s[j]
            n //= 2
            s[j] //= a[j]
        s[j] *= a[j]
    
    return res

二、Sobol序列正態分布

由於Sobol序列是偽隨機數，所以無法直接得到正態分布。但是可以通過轉換，將Sobol序列轉化為服從正態分布的序列。

將Sobol序列轉換為正態分布需要使用逆正態分布函數，例如 scipy.stats.norm.ppf 函數。通過逆正態分布函數將Sobol序列轉化後，即可得到服從正態分布的樣本。

三、Sobol序列抽樣

Sobol序列通常用於Monte Carlo抽樣。在Monte Carlo方法中，需要產生大量隨機樣本。使用Sobol序列可以保證序列的低差異性，降低誤差。

Sobol序列的抽樣使用 Python 的 random 庫名來實現：

import random

sobol = sobol_sequence(n, dim)
for i in range(n):
    # 生成服從正態分布的樣本
    x = scipy.stats.norm.ppf(sobol[i])
    # 對樣本進行處理
    y = f(x)
    # 計算積分
    res += y / n

四、Sobol序列原理

Sobol序列的生成原理是利用生成矩陣和基礎網格點。在生成過程中，每個維度使用特定的生成矩陣來計算得到第i個點的第j個分量。在Sobol序列中，所有分量都是互不相同的，這保證了低差異性。

下面是基礎網格點的示例代碼：

def init_points(n, dim):
    # 初始化點的位置
    v = [[0] * dim] * n
    # 將每個位置進行賦值
    for i in range(n):
        v[i][0] = i
    return v

五、Sobol序列代碼

Sobol序列的代碼實現是相對比較簡單的。以下是完整的代碼示例：

def init_matrix(dim):
    a = [[0] * dim] * dim
    vec = [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824]
    for i in range(dim):
        for j in range(dim):
            if i == j:
               a[i][j] = 1
            else:
                a[i][j] = vec[j] ^ a[i][j-1]
    return a

def prime_table(dim):
    p = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113]
    s = [1] * dim
    for i in range(dim):
        j = 0
        while i >= j:
            s[i] *= p[j]
            j += 1
    return s

def sobol_sequence(n, dim):
    # 初始化參數
    s = prime_table(dim)
    a = init_matrix(dim)
    v = init_points(n, dim)

    # 生成新的點
    for i in range(n):
        v[i] = sobol_point(i, a, s)

    return v

def sobol_point(n, a, s):
    res = [0] * len(a)
    
    for j in range(len(a)):
        while(n > 0):
            res[j] ^= (n%2) * s[j]
            n //= 2
            s[j] //= a[j]
        s[j] *= a[j]
    
    return res

六、Sobol序列 Verilog

Sobol序列不僅可以在Python中實現，也可以在硬件描述語言Verilog中實現。以下是Sobol序列Verilog的示例代碼：

module sobol(input clk, input [31:0] n, input [31:0] dim, output reg [31:0] rand_out []);
    reg [31:0] res;
    reg [31:0] a1, a2;
    reg [31:0] s1[dim-1:0], s2[dim-1:0];

    initial begin
        res = 0;
        for(int i = 0; i < dim; i++) begin
            a1[i] = 1;
        end

        for(int i = 0; i < dim-1; i++) begin
            s1[i] = 1;
        end

        for(int i = 0; i < n; i++) begin
            sobol_point();
            rand_out[i] = res;
        end
    end

    function void sobol_point;
        res = 0;
        for(int i = 0; i  0) begin
                res[i] = $xor(res[i], (n%2) * s1[i]);
                n = n / 2;
                s1[i] = s1[i] / a1[i];
            end
            s1[i] = s1[i] * a1[i];
        end
    end

    function int prime_table(int i, int dim);
        int [29:0] p = '{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113};
        int [31:0] s = 1;
        for(int j = 0; j <= i; j++) begin
            s = s * p[j];
        end
        return s;
    end

    function int init_matrix(int i, int dim);
        int [31:0] vec[31:0] = '{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824};
        int [31:0] a[dim-1:0]; 
        for(int j = 0; j < dim; j++) begin
            if(j == i) begin
                a[i] = 1;
            end else begin
                a[j] = vec[i] ^ a[j-1];
            end
        end
        return a[i];
    end
endmodule

七、Sobol序列知乎

Sobol序列在知乎上有很多相關的問題和討論，例如在模擬優化、金融工程等領域中的應用。以下是知乎上的幾個相關討論：

1. 模擬優化中Sobol序列的應用：https://www.zhihu.com/question/20685683

2. Sobol序列與隨機數生成：https://www.zhihu.com/question/24494840

3. Sobol序列在金融工程中的應用：https://www.zhihu.com/question/60063008