ARIMA模型p q d的確定

一、 ARIMA模型介紹

ARIMA模型，全稱自回歸移動平均模型（AutoRegressive Integrated Moving Average），是一個常用的時間序列預測模型。ARIMA模型將時間序列拆分為三個部分，包括自回歸（AR）部分，移動平均（MA）部分和差分（I）部分。

ARIMA模型採用歷史數據來推斷未來趨勢，因此在使用ARIMA模型前，需要考慮模型選擇和參數調整。

二、ARIMA模型參數p q d的含義

ARIMA模型有三個參數需要調節，分別為p、q和d。

p參數表示自回歸模型的階數。AR（Auto Regression）表示自回歸模型，其模型中的一個值是基於其前一個取值得到的。p參數決定了模型中自回歸項（AR項）的個數。

q參數表示移動平均模型的階數。MA（Moving Average）表示移動平均模型，其模型中的一個值是基於預測誤差得到的。q參數決定了模型中移動平均項（MA項）的個數。

d參數表示時間序列進行差分的次數。差分可以讓時間序列的平穩性提高，以便更好地應用ARIMA模型。d參數通常在1或2之間選擇，取決於時間序列的性質。

三、ARIMA模型參數選擇方法

ARIMA模型中的參數p、q和d需要根據數據選擇合適的取值。下面介紹幾種常用的方法：

1. 自相關圖和偏自相關圖

自相關圖（ACF圖）和偏自相關圖（PACF圖）是一種常用的選擇ARIMA模型參數的方法，它們能夠幫助我們判斷AR和MA模型中p和q參數的取值。

ACF圖是時間序列自相關係數的圖像，表示隨時間間隔的變化，時間序列自身的相關性。PACF圖是偏自相關係數的圖像，表示兩個時間點之間的特殊相關性。

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

# 得到自相關圖和偏自相關圖
plot_acf(data) #自相關圖
plot_pacf(data) #偏自相關圖

2. 網格搜索法

網格搜索法（Grid Search）是一種常用的選擇ARIMA模型參數的方法，它能夠快速地搜索不同的p、q、d的取值組合，並評估每個組合的預測能力。

下面是以AIC為評估標準的網格搜索代碼示例：

import itertools
import warnings

warnings.filterwarnings("ignore") # 關閉警告信息

# 首先定義一個參數範圍的列表
p = range(0, 4)
d = range(0, 2)
q = range(0, 4)

# 得到所有組合
pdq = list(itertools.product(p, d, q))

# 遍歷所有組合併評估其ARIMA模型的AIC值
aic = []
for param in pdq:
    try:
        model = sm.tsa.ARIMA(data, order=param)
        results = model.fit()
        aic.append(results.aic)
        print('ARIMA {} - AIC:{}'.format(param, results.aic))
    except:
        continue

# 找到AIC值最小的那個模型
best = pdq[aic.index(min(aic))]
print('Best ARIMA:{} - AIC:{}'.format(best, min(aic)))

3. 自動ARIMA模型選擇

在statsmodels庫的最新版本中，已經提供了自動ARIMA模型選擇的功能。它能夠通過輸入時間序列數據和選擇標準，自動選擇最適合的ARIMA模型。

import pmdarima as pm

model = pm.auto_arima(data, seasonal=False, trace=True)
print('Best ARIMA:{} - AIC:{}'.format(model.order, model.aic()))

四、模型評估和預測

進行ARIMA模型參數選擇後，需要評估模型的擬合程度，並進行預測。

1. 模型擬合程度的評估

使用模型對訓練集進行預測，然後將預測結果與訓練集的實際值進行對比，得到擬合程度的評估指標，如RMSE、MAE和R^2等。

from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 模型訓練和預測
model = sm.tsa.ARIMA(data, order=(1, 1, 1))
results = model.fit()
prediction = results.predict()

# 計算預測誤差和評估指標
error = mean_squared_error(data, prediction)
print('RMSE:{}'.format(np.sqrt(error)))

2. 預測未來值

使用訓練好的模型進行未來值預測，得到的結果可以用來制定相應的策略。

# 預測未來值（forecast）
prediction = results.forecast(7) # 預測未來7天的數據

五、總結

本文介紹了ARIMA模型中參數p、q和d的含義和選擇方法，採用了自相關圖和偏自相關圖、網格搜索法和自動ARIMA模型選擇三種方法進行了實現。同時，本文還介紹了如何進行模型評估和預測。在ARIMA模型選擇時，我們需要結合實際情況選擇合適的方法，分析觀察時間序列的性質和特點，以獲得更好的模型效果。