SGD優化算法——提升機器學習模型性能的必備利器

一、什麼是SGD優化算法

SGD（Stochastic Gradient Descent）優化算法是機器學習中常用的優化方法，它是一種迭代式的優化方法，用於尋找損失函數的最小值。相較於傳統的梯度下降算法，SGD每次隨機選擇一個樣本進行迭代，因此可以避免一些複雜的計算量。常見的SGD算法包括Mini-Batch SGD和普通SGD。

SGD算法的核心思想是通過不斷的迭代尋找當損失函數的梯度為0時的參數取值，從而實現對模型的優化。在訓練過程中，SGD每次選取一個樣本計算梯度，並根據梯度的方向以一定的步長調節參數，以期逐步降低損失函數的值，直到達到預定的收斂精度。

二、SGD優化算法的優點

相較於傳統的梯度下降算法，SGD算法具有以下優點：

1、節省內存：每次只需要處理一個樣本，可以節省大量的內存空間；

2、處理高維數據效果好：當數據維度比較高時，SGD算法具有更好的效果；

3、收斂速度快：由於每次迭代只處理一個樣本，因此收斂的速度很快。

三、SGD優化算法在機器學習中的應用

SGD優化算法被廣泛應用在機器學習領域，特別是在深度學習中。以下是一些常見的機器學習模型中使用SGD算法優化的例子：

1、線性回歸模型中的SGD優化器；

class LinearRegression:
    def __init__(self, lr=0.01, num_iter=100000, fit_intercept=True, verbose=False):
        self.lr = lr
        self.num_iter = num_iter
        self.fit_intercept = fit_intercept
        self.verbose = verbose
        
    def __add_intercept(self, X):
        intercept = np.ones((X.shape[0], 1))
        return np.concatenate((intercept, X), axis=1)
    
    def __loss(self, h, y):
        return (1/2*len(y)) * np.sum((h-y)**2)
    
    def fit(self, X, y):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
            
        self.theta = np.zeros(X.shape[1])
        
        for i in range(self.num_iter):
            rand_idx = np.random.randint(0, X.shape[0])
            X_i = X[rand_idx,:]
            y_i = y[rand_idx]
            h = np.dot(X_i, self.theta)
            gradient = X_i.T.dot(h-y_i)
            self.theta -= self.lr * gradient
                
            if self.verbose and i % 10000 == 0:
                h = np.dot(X, self.theta)
                print(f'Iteration {i}, loss = {self.__loss(h, y)}')
    
    def predict(self, X):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
            
        return np.dot(X, self.theta)

2、邏輯回歸模型中的SGD優化器；

class LogisticRegression:
    def __init__(self, lr=0.01, num_iter=100000, fit_intercept=True, verbose=False):
        self.lr = lr
        self.num_iter = num_iter
        self.fit_intercept = fit_intercept
        self.verbose = verbose
        
    def __add_intercept(self, X):
        intercept = np.ones((X.shape[0], 1))
        return np.concatenate((intercept, X), axis=1)
    
    def __sigmoid(self, z):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))
    
    def __loss(self, h, y):
        return (-1/len(y)) * np.sum(y*np.log(h) + (1-y)*np.log(1-h))
    
    def fit(self, X, y):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
            
        self.theta = np.zeros(X.shape[1])
        
        for i in range(self.num_iter):
            rand_idx = np.random.randint(0, X.shape[0])
            X_i = X[rand_idx,:]
            y_i = y[rand_idx]
            z = np.dot(X_i, self.theta)
            h = self.__sigmoid(z)
            gradient = X_i.T.dot(h-y_i)
            self.theta -= self.lr * gradient
                
            if self.verbose and i % 10000 == 0:
                z = np.dot(X, self.theta)
                h = self.__sigmoid(z)
                print(f'Iteration {i}, loss = {self.__loss(h, y)}')
    
    def predict_proba(self, X):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
            
        return self.__sigmoid(np.dot(X, self.theta))
    
    def predict(self, X, threshold=0.5):
        return self.predict_proba(X) >= threshold

3、神經網絡中的SGD優化器。

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

class NeuralNetwork:
    def __init__(self, lr=0.01, num_iter=100, hidden_size=4, fit_intercept=True, verbose=False):
        self.lr = lr
        self.num_iter = num_iter
        self.fit_intercept = fit_intercept
        self.verbose = verbose
        self.hidden_size = hidden_size
        
    def __add_intercept(self, X):
        intercept = np.ones((X.shape[0], 1))
        return np.concatenate((intercept, X), axis=1)
    
    def __loss(self, y, y_hat):
        return -np.mean(y * np.log(y_hat) + (1-y) * np.log(1-y_hat))
    
    def initialize_parameters(self, X):
        input_size = X.shape[1]
        output_size = 1
        
        self.params = {
            'W1': np.random.randn(input_size, self.hidden_size) * 0.01,
            'b1': np.zeros((1, self.hidden_size)),
            'W2': np.random.randn(self.hidden_size, output_size) * 0.01,
            'b2': np.zeros((1, output_size))
        }
        
    def forward_propagation(self, X):
        Z1 = np.dot(X, self.params['W1']) + self.params['b1']
        A1 = np.tanh(Z1)
        Z2 = np.dot(A1, self.params['W2']) + self.params['b2']
        y_hat = sigmoid(Z2)
        cache = {
            'A1': A1,
            'Z2': Z2,
            'Z1': Z1
        }
        return y_hat, cache
    
    def backward_propagation(self, X, y, y_hat, cache):
        dZ2 = y_hat - y
        dW2 = np.dot(cache['A1'].T, dZ2) / X.shape[0]
        db2 = np.sum(dZ2, axis=0, keepdims=True) / X.shape[0]
        dZ1 = np.dot(dZ2, self.params['W2'].T) * (1 - np.power(cache['A1'], 2))
        dW1 = np.dot(X.T, dZ1) / X.shape[0]
        db1 = np.sum(dZ1, axis=0, keepdims=True) / X.shape[0]
        
        grads = {
            'dW2': dW2,
            'db2': db2,
            'dW1': dW1,
            'db1': db1
        }
        
        return grads
    
    def update_parameters(self, grads):
        self.params['W1'] -= self.lr * grads['dW1']
        self.params['b1'] -= self.lr * grads['db1']
        self.params['W2'] -= self.lr * grads['dW2']
        self.params['b2'] -= self.lr * grads['db2']
        
    def fit(self, X, y):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
        
        self.initialize_parameters(X)
        
        for i in range(self.num_iter):
            y_hat, cache = self.forward_propagation(X)
            loss = self.__loss(y, y_hat)
            grads = self.backward_propagation(X, y, y_hat, cache)
            self.update_parameters(grads)
            
            if self.verbose and i % 10 == 0:
                print(f'Iteration {i}, loss = {loss}')
        
    def predict(self, X):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
        
        y_hat, _ = self.forward_propagation(X)
        return y_hat

四、如何選擇SGD的超參數

SGD算法中的超參數主要有學習率（learning rate）、迭代次數、batch size等等。合適的超參數對於模型性能的提升至關重要，以下是一些常用的選擇方法：

1、學習率（learning rate）：通常情況下，學習率的選擇會根據具體的數據集和模型來定。如果學習率過大，可能導致算法無法收斂；如果學習率過小，則算法的收斂速度會變得非常緩慢。通常情況下，我們可以初次設置學習率等於0.001，然後根據具體實驗進行調整；

2、迭代次數：迭代次數應該足夠大，以保證算法能夠收斂到最優解。同時，迭代次數也不能太大，否則會導致算法耗費大量的時間和資源。一般來說，可以根據實際數據集大小和模型複雜度來確定迭代次數；

3、batch size：batch size通常是一個比較小的數值，但不宜過小或過大。如果batch size過大，將會導致算法內存不足，而過小則會影響模型的優化效果。因此，我們需要根據具體的數據集大小和配置環境確定一個合適的batch size。