提高算法效率的全局優化工具——l-bfgs

一、l-bfgs算法介紹

l-bfgs是一種基於擬牛頓法的優化算法，主要用於解決凸函數的最小化問題。相對於傳統的梯度下降法，l-bfgs可以快速收斂並且不需要手動設置學習率。l-bfgs算法的核心思想是通過維護近似的海森矩陣B來更新當前的搜索方向。同時，l-bfgs算法對海森矩陣B做出了限制，使得算法的存儲和運算複雜度均線性增長。

二、l-bfgs的實現細節

l-bfgs算法的每一次迭代都需要計算目標函數關於自變量的梯度。一般情況下，梯度的計算是算法中最複雜的部分，特別是對於非線性的目標函數而言。在實現l-bfgs算法時，可以通過以下方式來加速梯度計算：

1、使用自動微分庫：自動微分可以自動計算目標函數關於自變量的一階和二階導數，減少梯度計算的時間。推薦使用Autograd、Jax等開源庫。

2、使用批量計算：對於一些數據量較大的問題，在計算梯度時可以考慮將數據分成小批量進行計算，從而提高計算效率。

三、使用l-bfgs的注意事項

1、l-bfgs算法只能求解凸函數的最小值，如果目標函數不是凸函數，可能會導致算法收斂到局部最小值而非全局最小值。

2、l-bfgs算法的收斂性與搜索方向的選擇密切相關，不同的搜索方向會對算法的收斂速度產生巨大的影響。在實際應用中，可以採用多種搜索方法，例如線搜索、強Wolfe條件等。

四、l-bfgs算法的代碼示例

import autograd.numpy as np
from autograd import grad

def rosen(x):
    """Rosenbrock函數"""
    return np.sum(100.0 * (x[1:] - x[:-1] ** 2.0) ** 2.0 + (1 - x[:-1]) ** 2.0)

def minimize(f, x0, maxiter=100):
    """l-bfgs算法實現"""
    m = 10  # 記錄最近的m次迭代信息
    x = x0  # 初始自變量
    g = grad(f)  # 目標函數的一階導數
    s_list, y_list = [], []
    alpha_list, rho_list = [], []
    for i in range(maxiter):
        g_i = g(x)  # 計算當前的梯度
        d_i = -g_i  # 計算搜索方向
        alpha = 1.0
        if i > 0:
            # 根據歷史迭代信息和搜索方向計算alpha
            q = g_i
            for s, y, rho in zip(s_list[::-1], y_list[::-1], rho_list[::-1]):
                alpha = rho * np.dot(s, q)
                q -= alpha * y
            r = np.dot(y_list[-1], y_list[-1]) / np.dot(y_list[-1], s_list[-1])
            z = r * q
            for s, y, rho in zip(s_list, y_list, rho_list):
                beta = rho * np.dot(y, z)
                z += s * (alpha - beta)
            d_i = z
            
        # 確定步長
        alpha = 0.01
        while f(x + alpha * d_i) >= f(x) + 0.001 * alpha * np.dot(g_i, d_i):
            alpha *= 0.5
        
        # 更新x
        x = x + alpha * d_i
        
        # 記錄歷史迭代信息
        if i > 0:
            s_list.append(alpha * d_i - s_list[-1] * rho_list[-1])
            y_list.append(g(x) * 1.0 - g_list[-1] * 1.0)
            rho_list.append(1.0 / np.dot(y_list[-1], s_list[-1]))
        
        # 判斷終止條件
        if np.linalg.norm(g_i) < 1e-6:
            break
        
    return x