Lognormal分布詳解

一、Lognormal分布圖形

Lognormal分布曲線是一個像鐘形曲線的形狀，但它不是對稱的。與正態分布不同，Lognormal分布圖形的峰值出現在對稱軸的右側。

下面是Python代碼來繪製Lognormal分布的圖形：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import lognorm

def plot_lognormal(mu, sigma, size):
    x = np.linspace(0, 10, size)
    plt.plot(x, lognorm.pdf(x, sigma, scale=np.exp(mu)))
    plt.title('Lognormal distribution (mu={:.1f}, sigma={:.1f})'.format(mu, sigma))
    plt.ylabel('Probability density')
    plt.xlabel('Value')
    plt.show()
    
# 繪製mu=0, sigma=0.5的分布圖形
plot_lognormal(mu=0, sigma=0.5, size=1000)

上述代碼將繪製一個mu=0, sigma=0.5的Lognormal分布曲線：

二、Normal distribution

Lognormal分布與正態分布有很大的關聯。如果取對數後，原來正態分布的數據變成了Lognormal分布。

下面是Python代碼來繪製Lognormal分布和對應的正態分布的圖形：

def plot_lognormal_normal(mu, sigma, size):
    x = np.linspace(0, 10, size)
    plt.plot(x, lognorm.pdf(x, sigma, scale=np.exp(mu)), label='Lognormal')
    plt.plot(x, norm.pdf(np.log(x), loc=mu, scale=sigma), label='Normal')
    plt.title('Lognormal and corresponding Normal distribution (mu={:.1f}, sigma={:.1f})'.format(mu, sigma))
    plt.ylabel('Probability density')
    plt.xlabel('Value')
    plt.legend()
    plt.show()
    
# 繪製mu=0, sigma=0.5的分布圖形
plot_lognormal_normal(mu=0, sigma=0.5, size=1000)

上述代碼將繪製一個mu=0, sigma=0.5的Lognormal分布曲線和對應的正態分布曲線：

三、Lognormal分布函數

Lognormal分布函數表示隨機變量X小於等於x的概率。

下面是Python代碼計算Lognormal分布函數：

from scipy.stats import lognorm

def lognormal_cdf(mu, sigma, x):
    return lognorm.cdf(x, sigma, scale=np.exp(mu))

# 計算mu=0, sigma=0.5, x=1的概率
print('Lognormal CDF:', lognormal_cdf(mu=0, sigma=0.5, x=1))

運行上述代碼將輸出一個概率值：

Lognormal CDF: 0.3934693402873666

四、Lognormal分布的概率

Lognormal分布的概率分布函數是非常廣泛使用的。下面是一個示例，表示Lognormal分布的50％的概率小於1.3：

from scipy.stats import lognorm

def lognormal_probability_less_than(mu, sigma, x):
    return lognorm.cdf(x, sigma, scale=np.exp(mu))

def lognormal_probability_between(mu, sigma, x1, x2):
    return lognormal_probability_less_than(mu, sigma, x2) - lognormal_probability_less_than(mu, sigma, x1)

def lognormal_probability_greater_than(mu, sigma, x):
    return 1 - lognormal_probability_less_than(mu, sigma, x)

# mu=0, sigma=0.5, x=1.3的概率小於50%
print('Less than:', lognormal_probability_less_than(mu=0, sigma=0.5, x=1.3))

運行上述代碼將輸出一個概率值：

Less than: 0.48927103364167104

上述代碼還提供了計算Lognormal分布的概率的其他函數。

五、Lognormal分布適用條件

Lognormal分布通常用於描述各種自然和社會現象，如收入分布、壽命分布、市場佔有率等。Lognormal分布的典型條件包括：

1. 隨機變量是正的
2. 隨機變量的對數服從正態分布

六、Lognormal分布參數

Lognormal分布有兩個參數：mu和sigma。其中mu是對數的均值，sigma是對數的標準差。

七、Lognormal概率分布函數

Lognormal概率分布函數表示概率密度函數的積分。

下面是Python代碼計算Lognormal概率分布函數：

from scipy.stats import lognorm

def lognormal_pdf(mu, sigma, x):
    return lognorm.pdf(x, sigma, scale=np.exp(mu))

# 計算mu=0, sigma=0.5, x=1的概率密度
print('Lognormal PDF:', lognormal_pdf(mu=0, sigma=0.5, x=1))

運行上述代碼將輸出一個概率密度值：

Lognormal PDF: 0.3520653267642985

小結

本文介紹了Lognormal分布的圖形、與正態分布的關係、Lognormal分布函數、Lognormal分布的概率、適用條件、參數和概率分布函數。Lognormal分布被廣泛應用於各種領域的數據建模和分析。