LU分解法

一、LU分解法解線性方程組

線性方程組是數學中的一種基本問題，LU分解法是解決線性方程組的方法之一。LU分解能夠將原問題分解成兩個相對簡單的問題，通過解決這兩個問題，從而得到原問題的解。LU分解法的主要思想是將係數矩陣拆分為下三角矩陣L和上三角矩陣U的乘積，即A=LU。由此，可以將解線性方程組的問題轉化為解L和U兩個三角形矩陣的問題。

二、LU分解法實驗原理

在矩陣A進行LU分解時，首先將A進行行變換，使矩陣的元素A[1][1]是所有第一列元素中絕對值最大的，然後通過消元的方式求出L和U。其中L是一個下三角矩陣，U是一個上三角矩陣。

void lu(double A[N][N], double L[N][N], double U[N][N], int n) {
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        L[i][i] = 1;  // 對角線上的數為1
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            sum = 0;
            for (int k = 0; k < i; k++) {
                sum += L[i][k] * U[k][j];  // 上三角U
            }
            U[i][j] = A[i][j] - sum;
        }
        for (int j = i; j < n; j++) {
            sum = 0;
            for (int k = 0; k < i; k++) {
                sum += L[j][k] * U[k][i];  // 下三角L
            }
           L[j][i] = (A[j][i] - sum) / U[i][i];
        }
    }
}

三、LU分解法怎麼求L和U

對於矩陣A進行LU分解求解L和U的過程，可以通過消元的方式得到。下面是具體的求解過程。

• 先將A[1][1]所在列的元素中絕對值最大的一行與第一行互換位置。即找到A[i][1]的最大值
• 通過消元的方式求出U中的第一行，即U[1]
• 通過消元的方式求出L中的第一列，即L[,1]
• 通過消元的方式求出U中的第二行，即U[2]
• 通過消元的方式求出L中的第二列，即L[,2]
• 重複以上過程，直到求出所有的L和U

四、LU分解法怎麼求L

對於矩陣A進行LU分解求解L的過程，可以通過消元的方式得到。具體求解過程如下：

• 先將A[1][1]所在列的元素中絕對值最大的一行與第一行互換位置。即找到A[i][1]的最大值
• 通過消元的方式求出L中的第一列，即L[,1]
• 通過消元的方式求出L中的第二列，即L[,2]
• 重複以上過程，直到求出所有的L

void LU_L(double U[N][N], double L[N][N], int n){

    for (int k = 0; k < n; k++)
    {
        for (int i = k; i < n; i++)  // 消元列
        {
            double sum = 0;
            for (int p = 0; p < k; p++)
            {
                sum += L[i][p] * U[p][k];
            }
            L[i][k] = U[i][k] - sum;
        }
    }
}

五、LU分解法步驟

在進行LU分解的過程中，需要準備初始矩陣A、下三角矩陣L和上三角矩陣U三個參數。具體分解步驟如下：

• 將初始矩陣A進行行變換，使矩陣的元素A[1][1]是所有第一列元素中絕對值最大的
• 通過消元的方式求出U中的第一行，即U[1]
• 通過消元的方式求出L中的第一列，即L[,1]
• 通過消元的方式求出U中的第二行，即U[2]
• 通過消元的方式求出L中的第二列，即L[,2]
• 重複以上過程，直到求出所有的L和U

六、LU分解法的求解的結果分析

通過LU分解法，可以得到線性方程組的解。當L和U得到後，使用前向代入和後向代入的方式就能夠求解。因此，LU分解法的主要優點在於求解效率高，解題過程也比較直觀。

七、LU分解法條件

LU分解法要求矩陣A的行列式不為0，即矩陣可逆。否則，該方法將無法求解方程組。

八、LU分解法實驗目的

通過對LU分解法的學習，能夠掌握線性方程組的解法。同時，能夠藉助LU分解法對數據進行矩陣分解，並應用於其他數學問題的解決中。

九、LU分解法例題

假設要求解線性方程組：

2×1 + 4×2 – 2×3 = 2

4×1 + 9×2 – 3×3 = 8

-2×1 – 3×2 + 7×3 = 10

int main() {
    double A[N][N] = {{2, 4, -2}, {4, 9, -3}, {-2, -3, 7}};
    double L[N][N], U[N][N];
    int n = 3;
    lu(A, L, U, n);
    LU_L(U, L, n);
    double b[N] = {2, 8, 10};
    double y[N], x[N];
    func1(L, y, b, n);
    func2(U, x, y, n);
    printf("L矩陣：\n");
    print_matrix(L, n);
    printf("U矩陣：\n");
    print_matrix(U, n);
    printf("解為：\n");
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        printf("x%d = %lf\n", i + 1, x[i]);
    }
    return 0;
}

十、LU分解法公式選取

LU分解法的公式如下：

A = LU

L[i][i] = 1

U[i][j] = A[i][j] – ∑(k=1)^(i-1) L[i][k] * U[k][j], i <= j

L[i][j] = (A[i][j] – ∑(k=1)^(j-1) L[i][k] * U[k][j]) / U[j][j], i > j