Welch檢驗——多方面詳解

一、背景介紹

Welch檢驗用於比較兩個獨立的樣本的均值是否相等，在實際工作中廣泛應用。由於常規的Student t檢驗在兩個樣本方差不相等時假設可能失效，因此我們需要使用Welch t檢驗，以更準確地評估兩個樣本均值差異的顯著性。

Welch檢驗基於較為寬鬆的假設，即兩個樣本具有獨立性，從從普遍意義上講，兩個樣本被視為獨立的，當它們采自於不同的總體，或者在本質上是不相關的。

二、檢驗原理

假設我們有兩個獨立的樣本，分別為X和Y，帶有均值和方差，分類別為μX、μY和σ²X、σ²Y。Welch檢驗的假設如下：

• 總體分布為正態分布
• 兩個樣本是獨立的，這意味着兩個樣本無應變，且給出的條件是當我們觀察到一個樣本時，我們不能準確預測另一個樣本中的值。
• 兩個樣本的方差σ²X和σ²Y可以不相等。

Welch t檢驗實際上是計算不同的標準誤差（SE）值。標準誤差反映均值真實值與樣本均值之間的隨機誤差。當根據樣本大小計算標準誤差時，標準誤差見於被稱為自由度的參數的方差。Welch test計算的標準誤差是每個樣本中的變化和樣本大小的函數，以及兩個樣本的不同自由度。

計算Welch t檢驗的方程式如下：

t = (̄X - ̄Y) / 〖√(s²X/nX + s²Y/nY)〗

其中，̄X 和 ̄Y分別是兩個樣本的均值，s²X和s²Y分別是兩個樣本的無偏樣本方差，nX和nY分別為兩個樣本的大小。

三、算法流程

給出代碼流程，具體使用請參考代碼中的注釋：

def welch_test(x, y):
    # 計算自由度
    v1 = len(x) - 1
    v2 = len(y) - 1

    # 計算標準誤差
    s1 = np.var(x, ddof=1)
    s2 = np.var(y, ddof=1)
    se = np.sqrt((s1 / len(x)) + (s2 / len(y)))

    # 計算 t 統計量
    t_stat = (np.mean(x) - np.mean(y)) / se

    # 計算 p 值
    df = (s1 / len(x) + s2 / len(y)) ** 2 / ((s1 / len(x)) ** 2 / (len(x) - 1) + (s2 / len(y)) ** 2 / (len(y) - 1))
    p = stats.t.sf(np.abs(t_stat), df) * 2

    return t_stat, df, p

四、優缺點分析

優點：

• Welch檢驗允許兩個樣本的方差不同，因此在實際工作中具有廣泛的適用性。
• 當樣本大小差異較大時，Welch檢驗比Student t檢驗更準確且可靠。

缺點：

• Welch檢驗的計算較為複雜，需要多次計算，因此對於計算能力較弱的用戶可能較為不友好。
• 當原假設為真時，Welch檢驗可能會因加入估計的自由度，導致一個較高的錯誤率，這也被視為其不足之處。

五、應用案例

下面我們以Python代碼為例，對兩個不同網頁的訪問量數據進行Welch檢驗，以評估它們的平均頁面觀測量是否差異顯著。

import numpy as np
from scipy import stats

pageA = [10, 5, 8, 7, 6]
pageB = [8, 6, 7, 9, 4, 5, 10]

t_stat, df, p = welch_test(pageA, pageB)

alpha = 0.05
if p > alpha:
    print("p-value is", p, ". The difference between the two groups is not significant.")
else:
    print("p-value is", p, ". The difference between the two groups is significant.")

六、總結

以上是關於Welch檢驗的詳細解釋，包括其原理、優缺點、算法流程、Python代碼實現等。通過本文的學習，我們可以更全面地認識Welch檢驗在實際工作中的應用，為數據分析提供更為準確的評估和判斷手段。