八皇后問題有多少解？

一、八皇后問題有多少解法

八皇后問題是指在一個8×8的國際象棋棋盤上擺放八個皇后，使得每個皇后都無法直接吃掉其他皇后。該問題最早由馬克斯·貝瑟爾於1848年提出，是一個經典的遞歸和回溯算法問題。

關於八皇后問題的解法，一般分為暴力枚舉和回溯算法兩種。暴力枚舉就是枚舉所有可能的情況，然後逐個檢查是否滿足條件。而回溯算法則是在枚舉過程中不斷削減不合理的情況，最後得到符合條件的解。

下面是兩種解法的代碼示例：

// 暴力枚舉

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ans = 0;

bool check(int x[], int k) {  // 判斷當前情況是否合法
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        if (x[i] == x[k] || abs(x[i] - x[k]) == k - i) return false;
    }
    return true;
}

void dfs(int x[], int k) {// 枚舉每一列
    if (k == 8) {  // 找到一組解
        ans++;
        return;
    }
    for (int i = 0; i < 8; i++) {
        x[k] = i;  // 在第k列第i行放置一個皇后
        if (check(x, k)) dfs(x, k + 1);  // 如果合法，繼續枚舉下一列
    }
}

int main() {
    int x[8];
    dfs(x, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

// 回溯算法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ans = 0;

void dfs(int x[], int k) {
    if (k == 8) {
        ans++;
        return;
    }
    for (int i = 0; i < 8; i++) {
        bool flag = true;  // flag記錄是否在該列找到了合法的位置
        x[k] = i;  // 在第k列第i行放置一個皇后
        for (int j = 0; j < k; j++) {  // 遍歷前k列，判斷當前情況是否合法
            if (x[k] == x[j] || abs(x[k] - x[j]) == k - j) {  // 不合法，回溯
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag) dfs(x, k + 1);  // 在當前列找到合法位置，繼續枚舉下一列
    }
}

int main() {
    int x[8];
    dfs(x, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

二、八皇后問題答案

經過上述兩種算法的求解，可以得到八皇后問題有92組解。以下是其中一組解的示例（皇后的位置用Q表示）：

Q _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ Q _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ Q
_ _ _ _ _ Q _ _
_ _ Q _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ Q _
_ Q _ _ _ _ _ _
_ _ _ Q _ _ _ _

三、八皇后問題所有答案

如果想要獲取所有92組八皇后問題的解，可以從網上下載預處理好的數據。以下是一份我找到的八皇后所有解的txt文件的前幾行：

1 6 8 3 7 4 2 5
1 7 4 6 8 2 5 3
1 7 5 8 2 4 6 3
1 8 4 7 5 2 6 3
2 4 6 8 3 1 7 5
2 5 7 1 3 8 6 4
2 5 7 4 1 8 6 3
2 6 1 7 4 8 3 5

......

可以看到，每一行都表示一組解，數字表示皇后所在的列數。只要讀取這個文件即可得到所有的八皇后問題解。

四、八皇后問題python/c++四種算法

除了上面提到的暴力枚舉和回溯算法外，在解決八皇后問題上，還可採用迭代加深、位運算加速等四種算法。以下是python和c++的代碼示例：

// 迭代加深-python

def IDDFS(x, depth):
    if depth == 0:
        return True
    for i in range(8):
        flag = True
        x[depth - 1] = i
        for j in range(depth - 1):
            if x[j] == x[depth - 1] or abs(x[j] - x[depth - 1]) == depth - j - 1:
                flag = False
                break
        if flag and IDDFS(x, depth - 1):
            return True
    return False

def solve():
    depth = 1
    x = [-1] * 8
    while not IDDFS(x, depth):
        depth += 1
    return x

if __name__ == '__main__':
    x = solve()
    for i in range(8):
        for j in range(8):
            if x[i] == j:
                print('Q', end=' ')
            else:
                print('_', end=' ')
        print()

// 位運算加速-c++

typedef unsigned long long ULL;

ULL ans = 0, limit;
int middle, upper;

void dfs(int row, ULL col, ULL ld, ULL rd) {
    if (row == 8) ans++;
    else {
        ULL pos = limit & ~(col | ld | rd);  // 將不能放置皇后的位置取反後，與掩碼相與得到所有可行位置
        while (pos) {
            ULL p = pos & -pos;  // 取最低位置的1
            if (row == middle) {  // 中間行時記錄pos的1的數量，便於調整掩碼
                upper = __builtin_popcountll(pos) - 1;
            }
            pos -= p;  // 清除pos最低位的1
            if (row < middle) dfs(row + 1, col | p, (ld | p) <> 1);
            else dfs(row + 1, col | p, (ld | p) <> (upper + 1));
        }
    }
}

int main() {
    middle = 3;
    limit = (1 << 8) - 1;
    dfs(0, 0, 0, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

五、八皇后有多少個解

八皇后問題有92種解。這個數字有時會被稱為八皇后問題的解個數。

六、八皇后問題分析

八皇后問題是一道經典的算法問題，涉及到許多算法如暴力枚舉和回溯算法等。在解決這個問題過程中，不僅需要思維的靈活運用，還需要細緻入微的思考與分析，才能得到的正確的答案。

同時，八皇后問題還可以看作是一道可以鍛煉編程能力的好題。無論是python還是c++，都可以用簡潔優美的代碼實現這個問題，提高自己的編程能力。