Python實現的求平方根函數

一、為什麼需要求平方根函數

平方根是指一個數的二次方等於該數的根數。例如，4的平方根是2，因為2^2=4。在數學中，求平方根是一個非常基礎的操作，而在實際應用中，我們也經常需要對數據進行開方運算。

Python中提供了多種方法來求一個數的平方根。在本文中，我們將介紹兩種最常用的方法-牛頓迭代法和二分查找法，以及它們在實際應用中的一些例子。

二、使用牛頓迭代法求平方根

牛頓迭代法，也叫牛頓-拉弗森迭代法，屬於一種數值逼近方法。該方法通過迭代逼近的方式，求解函數的零點。在求解平方根時，我們可以將 x^2=a 轉化為 f(x)=x^2-a=0 的形式，然後通過牛頓迭代公式不斷逼近函數的零點。

1. 實現代碼：

def sqrt_newton(a, eps=1.0e-9):
    x = a
    while True:
        fx = x * x - a
        if abs(fx) < eps:  # 精度達到要求
            return x
        dfx = 2 * x
        x -= fx / dfx

2. 代碼解釋：

在上述代碼中，我們定義了一個名為 sqrt_newton 的函數，用於計算 a 的平方根，其中 eps 表示我們指定的精度。函數的實現方式採用了牛頓迭代法。

我們首先初始化迭代的初始值 x 為 a，然後在一個 while 循環中，不斷利用牛頓迭代公式逼近平方根的值。在每次迭代時，我們首先計算函數的值 fx 和導數 dfx 的值，然後根據牛頓迭代公式進行更新。當函數的值小於指定的精度 eps 時，迭代停止，函數返回得到的平方根值 x。

3. 函數使用示例：

>>> sqrt_newton(4)
2.0
>>> sqrt_newton(9)
3.0
>>> sqrt_newton(2)
1.414213562373095
>>> sqrt_newton(3)
1.7320508075688772

三、使用二分查找法求平方根

二分查找法，也叫折半查找法，是一種在有序數組中查找指定元素的搜索算法。在求解平方根的過程中，我們也可以將 x^2=a 轉化為一個有序數組的問題，在數組中查找一個元素 k，使得 k^2 是最接近 a 的。

1. 實現代碼：

def sqrt_bisect(a, eps=1.0e-9):
    if a < 1.0:
        x0, x1 = a, 1.0
    else:
        x0, x1 = 1.0, a
    while True:
        xm = 0.5 * (x0 + x1)
        fm = xm * xm - a
        if abs(fm) < eps: # 達到精度要求
            return xm
        if fm < 0:
            x0 = xm   # 在右半邊繼續查找
        else:
            x1 = xm   # 在左半邊繼續查找

2. 代碼解釋：

在上述代碼中，我們定義了一個名為 sqrt_bisect 的函數，用於計算 a 的平方根，其中 eps 表示我們指定的精度。函數的實現方式採用了二分查找法。

首先，我們需要確定二分查找的區間。由於平方根必定在[1,a]之間，可以根據 a 的大小分別選擇左端點為 1 和 a 或 a 和 1，以保證左端點小於右端點。

接着，在一個 while 循環中，不斷將查找區間折半，計算中點的值並判斷中點的平方是否與 a 相等。如果中點的平方與 a 相等或差額小於指定的精度 eps，則迭代停止，函數返回找到的平方根 xm。如果中點的平方小於 a，說明平方根必定小於中點的值，於是在查找區間的右半部分繼續查找。如果中點的平方大於 a，則在查找區間的左半部分繼續查找。

3. 函數使用示例：

>>> sqrt_bisect(4)
2.0
>>> sqrt_bisect(9)
3.0
>>> sqrt_bisect(2)
1.414213562373095
>>> sqrt_bisect(3)
1.732050807567305

四、使用平方根求解實際問題

除了常規的平方根運算之後，平方根還常常被用於解決實際問題，例如計算圓的面積、三角形的面積等。

1. 計算圓的面積：

圓的面積公式為 S=πr^2，其中 r 表示圓的半徑。利用求平方根的函數，我們可以很方便地計算出圓的面積，代碼如下：

import math
def circle_area(r):
    return math.pi * sqrt_newton(r*r)

在上述代碼中，我們使用了 math 庫中的 pi 常數，然後將半徑 r 的平方作為參數傳給 sqrt_newton 函數，計算出半徑後再計算圓的面積。

2. 計算三角形的面積：

假設我們已知三角形的三邊長 a、b、c，那麼可以使用海倫公式求得三角形的面積 S = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) ^ 1/2 或者使用海德伯格公式求得面積 S = 1/4 x (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ^ 1/2。在使用這兩個公式時，都需要求解其中的平方根，因此我們可以使用之前的求平方根函數來實現，代碼如下：

def triangle_area(a, b, c):
    p = (a+b+c) / 2.0
    return sqrt_newton(p * (p-a) * (p-b) * (p-c))

在上述代碼中，我們首先計算出三角形的半周長 p=(a+b+c)/2，然後使用這個半周長計算得到三角形的面積。

五、總結

Python提供了多種方法來求平方根，本文介紹了其中兩種常用方法：牛頓迭代法和二分查找法。通過本文的介紹，相信您已經了解到了求平方根的實現方法以及在實際應用場景中如何應用平方根函數。