Sherman-Morrison公式詳解

一、Sherman-Morrison公式推導

Sherman-Morrison公式是由Sherman和Morrison在1950年提出的一種用於求解線性方程組描述的方法，可用於增量計算矩陣的逆。Sherman-Morrison公式的推導過程如下：

假設矩陣A是一個n階方陣，而B是一個n列向量，那麼我們可以寫出下列的線性方程

Ax = B 

現在，我們希望求解一個新的線性方程，其中我們將增加一個列向量u

Ax' = B'

注意到該方程與原始方程僅有在右側增加了一個向量B – B’ = u的區別。使用伴隨矩陣，我們可以將這些方程的解表示成如下形式

x = A⁻¹B

和

x' = (A + uv^T)⁻¹ (B + uα)

其中, α = -v^T A⁻¹ u / (1+v^T A⁻¹ u)

現在我們來推導Sherman-Morrison公式。將兩個解表示為：

x' = A⁻¹B - (A⁻¹uv^T A⁻¹)/(1 + v^T A⁻¹ u) * A⁻¹B

因此，

x' = (A⁻¹ - (A⁻¹uv^T A⁻¹)/(1 + v^T A⁻¹ u))B

注意到，我們已經得到了通過增加列向量(u)來計算線性方程組解的方法。

二、Sherman-Morrison公式有什麼用

Sherman-Morrison公式可用於在計算機科學領域中，特別是在網絡、通信和信號處理中。該公式可以用於增量計算矩陣的逆，從而節省存儲空間和計算時間。例如，當需要計算一個大型矩陣的逆時，該公式可用於對矩陣逐步添加向量，從而逐步計算矩陣的逆。

三、Sherman-Morrison公式證明

證明1：使用特殊情況證明

當我們使用向量u = e_i時，其中e_i是i位置上為1，其餘位置上為0的列向量時， uA⁻¹ = A⁻¹e_i。我們可以將向量A⁻¹e_i表示為第i列及僅有的非零列。我們將v設置為第j列，同時α設置為-A⁻¹[j][i] / A⁻¹[i][i]。將這些變量代入公式，我們得到

(x')_i = (A⁻¹[i][i] B_i - A⁻¹[i][j] B_j) / (1 - A⁻¹[j][i] / A⁻¹[i][i])

現在我們來證明，將x’代入原始方程Ax’ = B’中，我們可以得到B’，即

(A⁻¹ - A⁻¹ e_i [j][i] A⁻¹ / A⁻¹ [i][i]) B  = B′.

如果我們將矩陣A的第i行和第j行交換，則新的矩陣是A’。同時，我們假設x”是Ax”=B”的解，其中B”是通過增加一個列向量e_j得到的新向量。用x’插入原方程並將i和j交換，我們得到

x'' = A⁻¹B'' = (A + e_j v^T A)⁻¹ (B + e_j)

我們可以採用相同的方法來計算出x’和x”的不同之處，從而證明Sherman-Morrison公式的正確性。

證明2：使用矩陣分塊證明

假設我們有一個矩形矩陣M和一個向量c，讓我們考慮將一個單位向量d添加到該矩陣中的效果，即：

(M + dc^T)x = b

其中，x是一個長度為n的向量，相應地，M是一個n×n的矩陣，c和d也是n維的向量，b是任意n維向量。該方程可以推導出如下的線性回歸方程

x - (dc^Tx) / (1 + c^Tx)d = (M + dc^T)⁻¹b

所以，Sherman-Morrison公式是可行的，並且推導得到的結果與使用矩陣分塊證明的結果是相同的。因此，Sherman-Morrison公式是完整和可靠的。

四、Sherman-Morrison公式代碼示例

我們可以使用以下代碼來計算Sherman-Morrison公式:

import numpy as np

def sherman_morrison(A, u, v):
    
    # Compute the inverse of A:
    A_inv = np.linalg.inv(A)
    
    # Compute alpha:
    alpha = -1 * (np.dot(np.dot(A_inv, u), v)) / (1 + np.dot(v, np.dot(A_inv, u))) 
    
    # Compute the Sherman-Morrison inverse:
    A_inv_sm = A_inv - (np.dot(np.dot(np.dot(A_inv, u), np.transpose(v)), A_inv)) / (1 + np.dot(v, np.dot(A_inv, u)))
    
    return A_inv_sm

# Sample usage:
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5,6], [7, 8, 9]])
u = np.array([1,1,1])
v = np.array([1,0,1])

A_inv_sm = sherman_morrison(A, u, v)

print(A_inv_sm)

該示例用於計算一個3×3矩陣的Sherman-Morrison逆。輸出將是一個3×3的矩陣。

五、結論

在本文中，我們對Sherman-Morrison公式進行了詳細的闡述。我們探討了解釋Sherman-Morrison公式以及如何使用它來計算矩陣的逆的方法。此外，我們還提供了兩種不同的證明方法和實際的Python代碼示例，以便於讀者更好地理解和應用Sherman-Morrison公式。