非線性最小二乘法詳解

一、基本概念

非線性最小二乘法是一種數學優化技術，用於解決一組非線性方程組的擬合問題。該方法將實驗數據擬合到一個經驗公式或者理論函數，以儘可能減小預測值與實際值之間的平方誤差和。

對於一個非線性問題，一般來說沒有直接的解析解。因此，非線性最小二乘法通過迭代的方式求解一個局部最優解，使得擬合函數與實驗數據的誤差最小。

一般來說，非線性最小二乘法分為兩個步驟：首先，構建非線性方程組，然後使用數值方法求解。下面我們將對這兩個步驟進行詳細介紹。

二、構建非線性方程組

構建非線性方程組是非線性最小二乘法的第一步。其目的是建立一個與實驗數據擬合的經驗公式或理論函數。

假設我們有一個非線性模型：

    y = f(x, β) + ε

其中，y 是實驗數據，x 是輸入值， β 是一組未知參數， ε 是誤差。該模型可以表示成非線性方程組：

    y1-f(x1,β) = ε1
    y2-f(x2,β) = ε2
    ⋮
    yn-f(xn,β) = εn

其中矢量 y, x, 和 ε 分別表示實驗數據、輸入值和誤差。函數 f 表示經驗公式或理論函數。我們的目標是通過調整 β 來儘可能減小從矢量 ε 中獲取的信息（誤差）。

為了對 β 進行更新，我們需要計算誤差的梯度。下面我們將介紹計算誤差梯度的過程。

三、誤差梯度的計算

誤差梯度是非線性最小二乘法的核心。計算誤差梯度的公式如下：

    J(β) = (y-f(x,β))ᵀ·(y-f(x,β))
    ∂J/∂β = -2·(y-f(x,β))ᵀ·∂f/∂β

式中，J(β) 表示誤差的平方和， ∂J/∂β 表示誤差梯度，ᵀ 表示矩陣的轉置。要最小化誤差，需要將β調整到使得誤差梯度 ∂J/∂β 最小的位置。

在計算誤差梯度之前，我們需要進行一些工作。首先，我們需要定義誤差函數，如下所示：

    e(β) = y-f(x,β)

這個函數表示實驗數據 y 和理論函數 f(x,β) 的差異。然後，我們需要計算誤差函數的雅可比矩陣，如下所示：

    J(β) = ∂e/∂β

該矩陣描述了誤差函數關於β的各個分量的導數。通過求解方程 ∂J/∂β=0，我們可以得到 β 的最優值。

四、代碼實現

下面是 Python 中實現非線性最小二乘法的一個例子：

    # 導入必要的庫
    import numpy as np
    from scipy.optimize import least_squares

    # 構建非線性方程組
    def fun(x, data):
        return x[0] * np.sin(x[1] * data + x[2]) + x[3] * np.cos(x[4] * data + x[5]) - data

    # 生成實驗數據
    x_true = np.array([1, 0.1, 0.1, 1, 0.1, 0.1])
    t = np.linspace(0, 10, 200)
    y_true = fun(x_true, t)
    y_meas = y_true + 0.1 * np.random.randn(len(t))

    # 定義初始值
    x0 = np.array([0.5, 0.2, -0.3, 0.4, -0.5, 0.1])

    # 使用非線性最小二乘法進行求解
    res_lsq = least_squares(fun, x0, args=(y_meas,))

    print(res_lsq.x)

這裡我們構建了一個非線性方程組，並使用最小二乘法進行求解。結果將打印出最優值。