希爾伯特濾波器

希爾伯特濾波器廣泛應用於信號分析，特別是在音頻處理和語言處理領域中。它通常用於提取信號中的基頻或共振頻率。希爾伯特濾波器是一種線性相位、非因果、無限長的頻域濾波器。在本文中，我們將從多個方面詳細介紹希爾伯特濾波器。

一、背景

希爾伯特濾波器是由德國數學家希爾伯特在20世紀初提出的。它的主要功能是用來分析信息信號的相位關係，因而得名。希爾伯特濾波器的主要應用領域包括：信號處理、通信、音頻處理和生物醫學工程等領域。

希爾伯特濾波器的基本原理是選擇頻率範圍內的信號，並從該信號中提取所需的頻率成分，以達到識別和分析信號的目的。希爾伯特濾波器通常基於H(f)的形式，其中H(f)是希爾伯特濾波器的頻率響應函數。

二、頻率響應

希爾伯特濾波器的核心是其頻率響應函數，該函數通常是奇異、不可逆、延遲且非固定因果的，定義如下：

           {j   (f>=0)
H(f) = 2π {0   (f=0)
           {-j  (f<0)

其中，j是虛數單位，f是頻率。

希爾伯特濾波器的頻率響應函數具有如下性質：

• 當f=0時，H(f)=0，表示通過希爾伯特濾波器的直流信號被抑制。
• 當f>0時，H(f)是一個正實數，當f<0時，H(f)是一個負實數。這表示信號被旋轉了90度（或稱相位移動了-90度）。
• 當f<0時，H(f)是一個虛數。這反映了希爾伯特濾波器是非因果的。
• 希爾伯特濾波器是線性相位的。

三、設計和應用

希爾伯特濾波器通常使用差分器、集成器和反饋電阻構成。常用的方法包括：

• 頻域設計方法。通過改變濾波器的頻率響應函數來改變其濾波特性。
• 時域設計方法。利用時域響應的周期性和尋找希爾伯特濾波器的幅度和相位響應。

希爾伯特濾波器常用於信號分析，其典型應用包括：

• 音頻處理。希爾伯特濾波器可以用於輸出音頻信號的相位，它可以被用於壓縮和減少存儲空間，因為它只需要儲存一個基礎波形和一組相位數據即可。
• 通信。希爾伯特濾波器可以用於解析調製和解調調製，而且可以在同一頻帶寬度內傳輸多個獨立信息流。
• 生物醫學工程。希爾伯特濾波器可以用於解析生物電信號（如心電圖和腦電圖），以在不同頻率下剖析信號的相位。

四、示例代碼

//C++代碼示例
#include <math.h>
#define M_PI 3.14159265358979323846

void hilbert(const double* input, double* output, int n)
{
    fftw_complex* in = (fftw_complex*) fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * n);
    fftw_complex* out = (fftw_complex*) fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * n);
    fftw_plan p = fftw_plan_dft_1d(n, in, out, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);

    //setup input
    for(int i=0; i<n; i++){
        in[i][0] = input[i];
        in[i][1] = 0;
    }
    //run forward fft
    fftw_execute(p);

    //do hilbert transform
    for(int i=1; i<n/2; i++) {
        out[i][0] *= 2;
        out[i][1] *= 2;
    }
    for(int i=n/2+1; i<n; i++) {
        out[i][0] = 0;
        out[i][1] = 0;
    }
    //run inverse fft
    fftw_plan p_inv = fftw_plan_dft_1d(n, out, in, FFTW_BACKWARD, FFTW_ESTIMATE);
    fftw_execute(p_inv);

    //copy output
    for(int i=0; i<n; i++){
        output[i] = in[i][1]/n;
    }

    fftw_destroy_plan(p);
    fftw_free(in);
    fftw_free(out);
}

五、總結

希爾伯特濾波器是非線性數字信號處理的一個重要分支。它具有很多優點，如它可以處理廣泛的信號類型，從語音信號到腦電圖。希爾伯特濾波器對於提取信號的相位信息非常有用，它還可以用於減少噪聲，提高信號的可讀性。希爾伯特濾波器的應用範圍非常廣泛，它已經成為數字信號處理中的一個核心技術。