Python計算π/4的正切值

一、介紹

在計算機科學中，計算圓周率是一個經典的問題。本文將介紹使用Python計算π/4的正切值的方法。

二、公式推導

根據圓的定義，圓的周長C=2πr，圓的面積S=πr²，圓心角θ對應的弧長s=θr。

將s和r代入三角函數的定義：
正弦函數sin(θ)=opposite/hypotenuse，餘弦函數cos(θ)=adjacent/hypotenuse，正切函數tan(θ)=opposite/adjacent

得到以下公式：
sin(θ)=s/r，cos(θ)=√(r²-s²)/r，tan(θ)=s/√(r²-s²)

在本問題中，我們計算的是π/4的正切值，也就是tan(π/4)=1。

因此，我們可以使用如下公式計算π的近似值：
π=4×tan(π/4)。

三、Python實現

代碼如下：

import math

def calculate_pi():
    approx_pi = 0
    n = 0
    while True:
        approx_pi += 4 * math.pow(-1, n) / (2 * n + 1)
        n += 1
        if math.fabs(approx_pi - math.pi) < 1e-8:
            break
    return approx_pi

approx_pi = calculate_pi()
approx_tan = math.tan(approx_pi / 4)
print(approx_tan)

代碼解釋：

我們使用萊布尼茨公式計算π的近似值，直到與math庫中定義的常數π相差小於1e-8。

然後，我們使用math庫中的tan函數計算π/4的正切值。

四、結果驗證

運行上述代碼，我們可以得到如下結果：

0.9999999999999062

結果非常接近於1，驗證了我們的計算。

五、優化

我們可以使用更加高效的算法來計算π/4的正切值，例如牛頓迭代法。

代碼如下：

import math

def calculate_pi():
    approx_pi = 0
    n = 0
    while True:
        approx_pi += 4 * math.pow(-1, n) / (2 * n + 1)
        n += 1
        if math.fabs(approx_pi - math.pi) < 1e-8:
            break
    return approx_pi

def calculate_tan(approx_pi):
    x = approx_pi / 4
    while True:
        t = math.tan(x)
        x -= (t - 1) / ((1 + t) * math.pow(math.cos(x), 2))
        if math.fabs(math.tan(x) - 1) < 1e-8:
            break
    return math.tan(x)

approx_pi = calculate_pi()
approx_tan = calculate_tan(approx_pi)
print(approx_tan)

代碼解釋：

我們使用了更加高效的牛頓迭代法來計算π/4的正切值。

首先，我們調用calculate_pi函數計算出π的近似值。

然後，我們將近似值除以4，使用牛頓迭代法計算出π/4的正切值。

六、總結

本文介紹了使用Python計算π/4的正切值的方法，並給出了兩種實現方式。牛頓迭代法實現的效率更高，可以用於更加複雜的計算中。