隨機梯度下降法

一、基本概念

隨機梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）相對於傳統的梯度下降法，是一種更為高效的機器學習優化算法。梯度下降法每次迭代都要遍歷整個訓練集，計算所有樣本的梯度才能更新權重，因此在大規模數據的情況下會十分耗時。而SGD每次只選取一個或一小批量樣本來計算梯度，從而使得每次迭代的計算量大大降低，具有更高的計算效率。

SGD的具體實現過程如下：對於目標函數 $J(w)$，權重 $w$，學習率 $\eta$，SGD每次從訓練集中隨機選取一個樣本 $x_i$，計算該樣本的梯度 $g_i$，然後使用梯度下降法的公式更新權重：$w = w – \eta g_i$。這樣不斷迭代更新，直到達到一定的迭代次數或者達到收斂要求即可。

下面給出SGD的偽代碼實現：

for i in range(0, max_iter):
    shuffle(X)  # 打亂訓練集
    for j in range(num_samples):
        # 隨機選取一個訓練樣本進行梯度計算
        xi = X[j]
        yi = y[j]
        gi = compute_gradient(J, xi, yi, w)
        # 更新權重
        w = w - eta * gi

二、SGD的優點

1、高效：SGD每次只需要計算一個樣本的梯度，計算量較小，適合大規模數據集的優化問題。

2、易於並行：SGD每次更新只操作一個樣本，易於實現並行化操作，從而大大縮短了計算時間。

3、可收斂到局部最優解：SGD的收斂路徑具有一定的隨機性，能在一定程度上跳出局部最優解，收斂到全局最優解的概率也相對較大。

三、SGD的缺點與改進

1、收斂速度慢：SGD每次只更新一個樣本，可能會出現跳出最優解的情況，同時也容易受到樣本噪聲的干擾，導致收斂速度慢。

2、有一定的不穩定性：由於每次只考慮一個樣本，SGD可能會受到單個樣本的影響，進而影響到整個模型的參數更新。

為了克服SGD的缺點，研究者們提出了一系列改進方法。其中最常見的是Batch SGD和Mini-batch SGD。Batch SGD每次更新所有的樣本梯度，Mini-batch SGD選取一個小批量樣本進行梯度計算，大小通常設置在2~256之間。這樣權衡了運算速度和參數更新的精度。

下面給出Mini-batch SGD的實現代碼：

for i in range(0, max_iter):
    shuffle(X)  # 打亂訓練集
    for j in range(0, num_samples, batch_size):
        # 隨機選取一個小批量訓練樣本進行梯度計算
        batch_indices = range(j, min(j + batch_size, num_samples))
        X_batch = X[batch_indices]
        y_batch = y[batch_indices]
        gi = compute_gradient(J, X_batch, y_batch, w)
        # 更新權重
        w = w - eta * gi

四、實戰代碼示例

下面以sklearn庫中的breast_cancer數據集為例，展示如何使用SGDClassifier類進行二分類問題訓練。在示例代碼中，我們使用SGDClassifier類進行100次迭代的訓練，打印出了訓練集和測試集上的分類準確率。

from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.linear_model import SGDClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 加載數據集
data = load_breast_cancer()
X = data.data
y = data.target

# 數據歸一化
scaler = StandardScaler()
X = scaler.fit_transform(X)

# 劃分訓練集和測試集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 使用SGDClassifier進行訓練
clf = SGDClassifier(max_iter=100, tol=1e-3)
clf.fit(X_train, y_train)

# 打印結果
print("Train set score:", clf.score(X_train, y_train))
print("Test set score:", clf.score(X_test, y_test))