河內塔問題

一、問題背景

河內塔問題是一道經典的數學問題。問題的設定是這樣的：有三根柱子A、B、C，在柱子A上有$n$個大小不同的圓盤，大的圓盤在下，小的圓盤在上。現在要求將所有圓盤移到柱子C上，並保證大的圓盤在下，小的圓盤在上，每次移動只能將一個圓盤從某個柱子的頂端移動到另一個柱子的頂端。但是，在移動過程中，不能出現大盤子放在小盤子上的情況。

二、解法探討

1. 遞歸算法

河內塔問題最常見的解法就是使用遞歸算法。

class Hanoi {
    public static void move(int n, char from, char to, char aux) {
        if (n == 1) {
            System.out.println("Move disk 1 from rod " + from + " to rod " + to);
            return;
        }
        move(n - 1, from, aux, to);
        System.out.println("Move disk " + n + " from rod " + from + " to rod " + to);
        move(n - 1, aux, to, from);
    }
 
    public static void main(String args[]) {
        int n = 4;
        move(n, 'A', 'C', 'B');
    }
}

遞歸算法是一種很好的解題方法，但是需要注意的是，如果$n$比較大時，遞歸算法會非常緩慢，因為每個函數調用都需要保存參數、局部變量和返回地址。此時可以考慮使用迭代算法來解決這個問題。

2. 迭代算法

迭代算法是使用循環逐步構建解決方案的一種算法。

class Hanoi {
    public static void move(int n, char from, char to, char aux) {
        if (n % 2 == 0) {
            char temp = aux;
            aux = to;
            to = temp;
        }
 
        int numMoves = (int) Math.pow(2, n) - 1;
        for (int i = 1; i <= numMoves; i++) {
            if (i % 3 == 1) {
                System.out.println("Move disk " + disk(i) + " from rod " + from + " to rod " + to);
            } else if (i % 3 == 2) {
                System.out.println("Move disk " + disk(i) + " from rod " + from + " to rod " + aux);
            } else {
                System.out.println("Move disk " + disk(i) + " from rod " + aux + " to rod " + to);
            }
        }
    }
 
    private static int disk(int i) {
        return (int) (Math.log(i) / Math.log(2)) + 1;
    }
 
    public static void main(String args[]) {
        int n = 4;
        move(n, 'A', 'C', 'B');
    }
}

迭代算法的優點是效率比遞歸算法高得多，因為不需要本地函數調用和附加開銷。

三、總結

河內塔問題是一個經典的數學問題，有多種解法，包括遞歸算法和迭代算法。遞歸算法簡單易懂，但是在$n$比較大時效率很低，而迭代算法則相對高效。在實際工作中，可以考慮根據具體問題的特點選擇合適的算法。