Slerp的深入探究

一、Slerp概述

Slerp，全稱Spherical Linear interpolation，球形線性插值，是一種常見的旋轉插值算法。它是一種基於四元數(quaternions)的插值方法，用於對兩個在三維空間中存在的旋轉進行插值計算。它可以將一組初始旋轉和目標旋轉之間的旋轉距離進行平滑的插值計算出一個插值旋轉，該旋轉可用於平滑動畫的製作。

二、Slerp算法

人們經常使用Slerp插值算法將兩個四元數進行插值來計算旋轉，其主要思路是先找到兩個四元數之間的角度，然後通過參數t按照兩個四元數之間的夾角計算出插值四元數。

#include "glm/gtc/quaternion.hpp"
#include "glm/gtx/quaternion.hpp"

glm::quat slerp(const glm::quat& q1, const glm::quat& q2, float t)
{
    glm::quat q = glm::slerp(q1, q2, t);
    return glm::normalize(q);
}

上面的這個代碼片段是slerp算法的簡單實現。其中glm::slerp是GLM數學庫里提供的slerp函數，它接受兩個四元數和一個參數t，並返回計算出來的插值四元數。最後，我們對插值四元數進行規範化操作。

三、旋轉基礎

在插值之前，我們需要先理解一些基本概念。旋轉操作通常以變換矩陣的形式表示。給定一個向量我們可以通過變換矩陣將其旋轉，變換矩陣通常表示為3×3的矩陣或者4×4的矩陣。

然而不同的矩陣表示同樣的旋轉有時候會存在困難，如指定旋轉軸和角度，這樣的表示方式在計算上可能會很複雜，而且存在多個矩陣表示同樣的旋轉，這時候就可以使用四元數進行表達和計算。

四、四元數

四元數是一個四元數組，通常用來表示旋轉。一個四元數包含三個虛數分量（i、j、k）和一個實數分量w。四元數可以通過向量和標量進行表示。

struct Quaternion
{
    float x, y, z, w;
}

上述代碼片段展示了四元數的結構體表示形式。

五、四元數的運算

四元數具有多種運算，最常用的包括求長度，歸一化四元數，四元數加減、點積、叉乘和四元數的轉置。

另外四元數也可以進行逆運算和共軛操作。四元數的逆可以通過共軛操作和長度平方來計算，如下所示：

glm::quat inverse(glm::quat q)
{
    return glm::conjugate(q) / glm::dot(q, q);
}

在上述代碼中，我們使用了conjugate函數來計算四元數q的共軛，然後將該值除以q的長度平方，這樣就能得到q的逆。

六、四元數的插值

Slerp算法利用了四元數的線性插值進行計算。在旋轉單元球上，兩個點之間的曲線總是沿着圓弧，而Slerp算法則是在該曲線上進行線性插值。

七、優缺點

Slerp算法的優點是能夠保持插值結果的規範性，而且生成的插值曲線沿着球形分布。如果我們把插值的初始和結束的四元數表示成向量，則插值結果的向量也將落在初始和結束向量之間的圓上。而缺點是Slerp算法的計算比較耗時。

八、總結

Slerp算法是一種常用的旋轉插值算法，用於對兩個在三維空間中存在的旋轉進行插值計算。它可以將一組初始旋轉和目標旋轉之間的旋轉距離進行平滑的插值計算出一個插值旋轉，該旋轉可用於平滑動畫的製作。雖然Slerp算法的計算比較耗時，但其仍然是一種非常常用的算法，並在遊戲動畫和機器人中廣泛應用。