Matlab解微分方程組的全面指南

一、Matlab解微分方程組求解區間

Matlab可以用ode45函數來解微分方程組，這個函數是一種基於龍格-庫塔方法的數值求解器，用於求解一般形式的常微分方程組(ODEs)。

參數tspan用於指定求解區間，即求解的時間範圍。

tspan = [t0, tf];

這裡t0是起始時間，tf是結束時間。

例如，要求解微分方程組：

function dydt = odefcn(t, y, Z)
    dydt = zeros(2,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = -9.81;
end

假設初始條件為y(0)=[0 10]，要求解的時間範圍是0到10秒：

[t,y] = ode45(@odefcn, [0 10], [0 10]);

二、Matlab解微分方程

Matlab可以用dsolve函數來解微分方程，這個函數是一種符號求解器，用於求解形式簡單的微分方程。

例如，要解方程：

syms y(t)
Dy = diff(y);
D2y = diff(y,2);
eqn = 2*D2y + 3*Dy + 5*y == 0;
ySol(t) = dsolve(eqn);

這裡syms是符號變量的聲明，Dy和D2y是y的一階和二階導數，eqn是微分方程，ySol是求得的解。

三、Matlab解微分方程組例題

下面給出一個微分方程組的例題，通過Matlab的ode45函數進行求解。

微分方程組為：

function dydt = odefcn(t, y, Z)
    dydt = zeros(2,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = -y(1);
end

初始條件為y(0)=[1 0]。

[t,y] = ode45(@odefcn, [0 10], [1 0]);
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('y')
title('y''''+y=0的解')

四、Matlab解微分方程平衡點

微分方程組的平衡點是指滿足dy/dt=0的點。在Matlab中，可以通過求解方程dydt=0來求解平衡點。

例如，要求解微分方程組：

function dydt = odefcn(t, y, Z)
    dydt = zeros(2,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = -y(1);
end
options = optimoptions('fsolve','Display','none');
y0 = [1 0];
[y_eq, fval] = fsolve(@(y) odefcn(0, y, []), y0, options);

這裡用Matlab內置的優化函數fsolve來求解方程。

五、Matlab解微分方程組曲線

為了得到微分方程組的曲線，可以使用Matlab的plot函數。

例如，用ode45函數求解微分方程組：

function dydt = odefcn(t, y)
    dydt = zeros(2,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = -4*y(1);
end
[t,y] = ode45(@odefcn, [0 10], [1 0]);
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('y')
title('y''''+4y=0的解')

六、Matlab解微分方程組帶參數

在實際應用中，微分方程組往往帶有一些參數。可以通過定義函數來實現帶參數的微分方程組的求解。

例如，在本例子中微分方程組為：

function dydt = odefcn(t, y, k)
    dydt = zeros(2,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = -k*y(1);
end
k = 2;
[t,y] = ode45(@(t,y) odefcn(t, y, k), [0, 10], [1 0]);
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('y')
title('y''''+2y=0的解')

七、Matlab解微分方程組物理模型

微分方程組可以用於描述物理模型，下面給出一個簡單的例子。

模型為二階彈簧系統，微分方程組為：

function dy = springMass(t,x)
    dy = zeros(2,1);
    dy(1) = x(2);
    dy(2) = - 0.1 * x(2) - x(1);
end
[t,y] = ode45(@springMass,[0,15], [0.1,0]);
plot(t,y(:,1))
title('二階彈簧系統的運動')
xlabel('t')
ylabel('y')

八、Matlab解微分方程組矩陣

微分方程組可以用矩陣形式表示，這使得求解微分方程組更加方便。

例如，將微分方程組：

function dydt = odefcn(t, y)
    dydt = zeros(2,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = -4*y(1);
end
[t,y] = ode45(@odefcn, [0 10], [1 0]);
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('y')
title('y''''+4y=0的解')

改寫為矩陣形式：

function dy = odefcn(t,y)
    A = [0 1; -4 0];
    dy = A * y;
end
[t,y] = ode45(@odefcn, [0 10], [1 0]);
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('y')
title('y''''+4y=0的解')

九、Matlab解微分方程組並畫圖

利用Matlab的ode45函數和plot函數，可以實現在同一張圖上畫出多個微分方程的曲線。

例如，解決微分方程組：

function dy = coupled(t, y)
    dy = [y(2); -y(1) - 0.2 * y(2) + y(1) * y(1)];
end
[t1, y1] = ode45(@coupled, [0, 20], [2, 0]);
[t2, y2] = ode45(@coupled, [0, 20], [-2, 0]);
[t3, y3] = ode45(@coupled, [0, 20], [0, 2]);
plot(t1, y1(:, 1), t2, y2(:, 1), '-.', t3, y3(:, 1),'--')
xlabel('t')
ylabel('y')
legend('y(0)=2,y''(0)=0','y(0)=-2,y''(0)=0','y(0)=0,y''(0)=2')
title('微分方程曲線')

十、Matlab解非線性方程組

非線性方程組的求解可以用Matlab的fsolve函數。

例如，解決方程組：

function F = f(x)
    F = [sin(x(1)) + cos(x(2))
         exp(x(1)) - exp(x(2)) - x(1) + x(2)];
end
x0 = [1; 1];
x = fsolve(@f, x0);