詳解likelihoodratiotest

一、likelihoodratiotest基本概念

likelihoodratiotest是一種基於極大似然估計的假設檢驗方法，用於比較兩個統計模型的解釋能力。它通過計算兩個模型對數據擬合的好壞程度的差異來評估它們的相對表現。

它的基本原理是：我們可以構建兩個統計模型，一個是原始模型（null model），另一個是備選模型（alternative model）。原始模型是一個簡單的模型，通常包含較少的參數；而備選模型是一個較為複雜的模型，可能包含更多的參數。likelihoodratiotest的核心思想就是比較兩個模型對數據的擬合程度，然後判斷備選模型是否比原始模型更好地解釋了觀測數據。

二、likelihoodratiotest的基本步驟

1、提出原始假設和備選假設。

2、在兩個模型下計算似然函數（likelihood）。

  void likelihood_old(float* x, int N, float& L)
  {
      float mu = mean(x, N);
      L = 1.0;
      for(int i = 0; i < N; i++)
      {
          L *= exp(-mu) * pow(mu, x[i]) / tgamma(x[i] + 1);
      }
  }
  
  void likelihood_new(float* x, int N, float& L)
  {
      float alpha = 0.0, beta = 0.0;
      moments(x, N, alpha, beta);
      L = 1.0;
      for(int i = 0; i < N; i++)
      {
          L *= exp(beta * x[i] - (alpha + 1) * log(1 + beta * x[i])) / (1 + beta * x[i]);
      }
  }

3、計算兩個模型的似然比（likelihood ratio）。

  float likelihood_ratio_test(float* x, int N)
  {
      float L_null = 0.0, L_alt = 0.0;
      likelihood_old(x, N, L_null);
      likelihood_new(x, N, L_alt);
      return -2 * log(L_null / L_alt);
  }

4、計算p值。

  float p_value(float chi2, int k)
  {
      return 1.0 - boost::math::cdf(boost::math::chi_squared(k), chi2);
  }

三、likelihoodratiotest的應用場景

likelihoodratiotest主要應用於以下場景：

1、模型比較：用於比較兩個或多個統計模型對樣本數據的擬合程度。

2、變量篩選：用於篩選與目標變量相關的特徵，刪除那些不顯著、對模型表現沒有改善的變量。

3、檢驗假設：用於檢驗某些假設是否支持擬合統計模型（如線性回歸模型中的假設檢驗）。

四、likelihoodratiotest的優缺點

優點：

1、可以比較不同複雜度的模型的表現。

2、不用預設樣本數或假定分布。

3、可以進行參數化檢驗。

缺點：

1、假設檢驗結果可能受到檢驗條件和樣本數的影響。

2、只能用於比較兩個模型的擬合能力，不能評估特定模型的好壞。

3、容易出現過擬合現象。