四元數與歐拉角關係

本文目錄一覽：

• 1、求兩個單位向量之間的歐拉角

• 2、如何用Matlab實現四元數到歐拉角的轉換？（急需轉換的代碼）

• 3、四元素轉歐拉角為什麼不可逆

• 4、unity 四元數為什麼轉歐拉

• 5、Unity基礎：歐拉角、四元數

求兩個單位向量之間的歐拉角

如圖若a為一維向量，則由a變換到b旋轉兩次即可。

若a為非一維向量，則可以通過轉換變成一維向量。

所以說，應該通過兩次旋轉即可由a變換到b。

而兩次旋轉可以順序不同，所以這個不解是唯一的。

【僅供參考】

如何用Matlab實現四元數到歐拉角的轉換？（急需轉換的代碼）

MATLAB 2006b之後的版本提供了航空航天工具箱（Aerospace Toolbox），其中有quat2angle函數，就是用於實現四元數到歐拉角轉換的。

基本調用格式：

[r1r2r3]=quat2angle(q)

[r1r2r3]=quat2angle(q,s)

其中q為四元數，r1-r3為歐拉角，s為歐拉轉序（rotation sequence，有的資料譯成“順規”）。

說明幾點：

1、輸出的歐拉角單位是弧度；

2、歐拉角的定義有很多種，應用在不同的領域（有時用的名字，例如Tait-Bryan角）。確切點說，一共有12種定義——第一次旋轉可以繞任何一個坐標軸進行（3），第二、第三次旋轉要繞除上一次旋轉之外的另外兩個坐標軸（2×2），所以，一共可以有3x2x2=12種定義。quat2angle支持這全部12種定義，並以三次旋轉的坐標軸表示，例如'ZYX', 'ZYZ', 'ZXY',等等。默認的轉序是ZYX。

3、上面說的轉序涉及到坐標系的定義，該函數的坐標系定義為Z軸為豎軸，可能與某些領域的習慣不同，需要特別注意。

示例：

[yaw,pitch,roll]=quat2angle([1010])

yaw=

0

pitch=

1.5708

roll=

0

四元素轉歐拉角為什麼不可逆

二者可以相互轉換。

四元數的性質包括1、滿足結合律 2、不滿足交換律 3、乘積的模等於模的乘積 4、乘積的逆等於各個四元數的逆以相反的順序相乘。歐拉角的缺點包括1、 歐拉角的表示方式不唯一。給定某個起始朝向和目標朝向，即使給定yaw、pitch、roll的順序，也可以通過不同的角度組合來表示所需的旋轉。這其實主要是由於萬向鎖(Gimbal Lock)引起的；2、歐拉角的插值比較難；3、計算旋轉變換時，一般需要轉換成旋轉矩陣，這時候需要計算很多sin， cos，計算量較大。

由以上原因決定。

unity 四元數為什麼轉歐拉

四元數是一個比較複雜的數學知識。。為了讓開發者不需要懂太深奧的數學知識，也能操作角度。所以才有了歐拉角，只需要三個值就確定旋轉角度。。但其實旋轉的內部計算方式，是通過四元數實現的。。。

但用歐拉角操作旋轉角度，會產生一個問題，就是在特定情況下，會出現一種叫做“萬向節死鎖”的錯誤。。。為了避免這種錯誤產生，有時則需要先把歐拉角轉換成四元數，來進行旋轉。。等旋轉完成之後，再轉換回歐拉角。。

如果你會使用四元數，那就直接使用四元數就可以了。。。歐拉角是為像我這種數學知識比較差的人準備的。。。。

Unity基礎：歐拉角、四元數

在遊戲開發中，經常會接觸到旋轉，常用的旋轉方式有使用矩陣旋轉，使用歐拉角旋轉和使用四元數旋轉。在本篇中，主要研究歐拉角和四元數。

在Unity的Transform中，Rotation屬性對應的就是歐拉角，一共分為3個軸，x、y和z，而每一個數值對應的是繞對應的軸旋轉的度數。

如上圖所示，表示按照坐標順序旋轉，X軸旋轉30°，Y軸旋轉90°，Z軸旋轉10°。

但歐拉角會出現一個問題： 萬向鎖 。

什麼是萬向鎖？這個不好解釋，感覺只有真正遇到過的才會有所體會，有興趣的可以搜下萬向鎖的相關視頻感受下。

為什麼要使用四元數？

原因有很多，下面是其中的兩個我覺得比較重要的原因：

四元數比較複雜，是一個高級複數，跟二維複數能表示平面上的一個點類似，四元數表示的是思維空間上的一個點，由於是一個四維空間（所以不好想象），表示方式為：

![][1]

[1]:

其中：

![][2]

[2]: 2=j 2=k^2=-1

對一個點 p 的轉換公式為，p'為轉換後的點（至於具體的解釋，可以參考 candycat 前輩的 這篇博客 ）：

![][3]

[3]: '=qpq ^{-1}

在四元數中，點 p 的四元數表示方式為

![][5]

[5]: ((x,y,z),0)

其中x，y，z為對應坐標，w量為0方便計算（其他數值也可以，不過轉換後結果不會有影響，我們只關注坐標量x，y，z）。

而旋轉點所需的四元數 q 的表示方式為:

![][4]

[4]: (cos \frac{\theta}{2},(x,y,z)sin\frac{\theta}{2})

其中 theta 為旋轉的角度，x，y，z為旋轉軸。

參考資料後，我的幾何理解是：一個點p要繞一個軸旋轉，如果用四元數進行變換，則要通過一個 輔助軸a ，軸a是原點與旋轉過程中的中間點構成的向量，通過兩次的四元數變換把點p變換到最終點p’（四維的量，不能單純地把xsin(theta/2)，ysin(theta/2)，zsin(theta/2)理解為歐拉角的x，y，z量）。

當然，四元數是可以通過歐拉角進行構建的：

通過軸-角構建：

當然還有其他方式，需要大家自行查詢官方文檔。