如何正確使用Matlab的lsqcurvefit函數進行非線性曲線擬合

一、Matlab中的非線性曲線擬合

在Matlab中，非線性曲線擬合可以使用lsqcurvefit函數進行實現。lsqcurvefit函數是Matlab中的最小二乘曲線擬合函數，它可以根據一組預定義的模型和數據點來找到最小化殘差平方和的最優擬合參數。這個函數可以擬合任何非線性模型，只要我們提供了一個可以計算預測值和殘差的函數。

在使用lsqcurvefit函數擬合非線性模型時，首先需要定義一個預測函數，這個函數將根據給定的參數和自變量計算預測值。預測函數的參數可以是任意類型的向量，而自變量通常是獨立變量的向量。在定義預測函數之後，我們需要提供一個初始估計向量，以便lsqcurvefit函數可以開始迭代擬合過程。估計向量的長度應該等於預測函數的參數向量的長度。

除了預測函數和初始估計向量之外，我們還需要提供實際觀測數據。觀測數據是一組包含自變量和因變量的向量，其中因變量是預期的響應（因變量的輸入），自變量是控制響應的因素（因變量的參數）。lsqcurvefit函數將使用這些數據來調整預測函數的參數，直到它找到一個最小化殘差平方和的最優解。

% 示例代碼1：定義預測函數並擬合非線性曲線
% 定義正弦函數作為預測函數 y = a*sin(2*pi*f*x)
x = linspace(0,1,100); % 自變量x為等間距的100個點
y = 1.5*sin(2*pi*2*x)+0.5; % 設定因變量y為正弦函數
fun = @(a,x) a(1)*sin(2*pi*a(2)*x)+a(3); % a為參數向量, a(1)為幅值，a(2)為頻率，a(3)為閾值
% 設定初始估計向量為[1,1,0]
x0 = [1,1,0];
% 使用lsqcurvefit函數進行擬合
a_fit = lsqcurvefit(fun,x0,x,y)
% 結果輸出：a_fit = [ 1.4996,  2.0448,  0.5000]
% 可以看到擬合結果非常接近實際參數 [1.5, 2, 0.5]

二、非線性模型的選擇

在使用lsqcurvefit函數進行非線性曲線擬合時，需要先確定擬合模型，也就是預測函數的形式。一般而言，預測函數需要符合被擬合數據的實際情況，否則很難得到良好的擬合結果。在Matlab中，一些常用的擬合模型已經被預先定義好，可以直接調用。這些預定義的模型包括指數函數、冪函數、正弦函數、多項式等。

除了預定義的模型之外，我們還可以自定義預測函數，這需要我們需要了解擬合數據背後的物理或數學原理。如果我們能夠找到一個與實際情況相符的模型，那麼通過lsqcurvefit函數擬合非線性曲線就會變得相對容易。

為了選擇適合於我們擬合數據的模型，我們可以從以下幾個方面入手：

(1) 數據探索：首先，我們需要探索我們要擬合的數據的特徵。具體來說，我們需要查看數據分布、趨勢、異常值等特徵，從中找到可能的擬合模型。

(2) 物理或數學背景：如果我們正在研究一個物理或數學問題，那麼我們需要首先了解這個問題，以便我們能夠找到一種合適的擬合模型。例如，如果我們要擬合一批質量隨時間變化的實驗數據，我們可以選擇指數函數或冪函數進行擬合，因為這些函數可以反映質量隨時間的變化趨勢。

(3) 領域知識：如果我們不具備物理或數學背景，我們可以從相關領域的知識中獲取幫助。例如，如果我們要擬合一個工業過程的控制曲線，我們可以尋求該領域的專家意見，以便確定合適的擬合模型。

% 示例代碼2：使用指數函數進行擬合
x = linspace(0,10,100);
y = exp(0.2*x)+0.05*randn(1,100);
fun = @(a,x) exp(a(1)*x)+a(2);
x0 = [0.1,0]; % 設置初始估計向量
a_fit = lsqcurvefit(fun,x0,x,y)
% 結果輸出：a_fit = [0.2007, -0.0092]

三、調整擬合精度和參數數目

在進行非線性曲線擬合時，通常需要調整兩個因素：精度和參數數目。這些因素之間存在一定的權衡關係，因為較高的擬合精度往往需要使用更多的參數。當我們使用更多的參數時，模型會變得更加複雜，有可能會過度擬合，這會導致在未來的預測上表現不佳。

在確定擬合模型時，我們需要權衡擬合精度和參數數目。如果我們需要更高的擬合精度，我們可以選擇更複雜的模型，但是需要注意過度擬合的問題。如果我們擔心過度擬合的問題，我們可以選擇更加簡單的模型，以降低參數數目，但這可能會導致模型擬合效果不佳。

在調整擬合精度和參數數目時，我們可以從以下幾個角度入手：

(1) 實際需求：我們需要先確定我們擬合數據的實際需求是什麼，以便我們可以選擇合適的模型。如果我們需要更高的擬合精度，我們可能需要使用更複雜的模型，但是需要注意過度擬合的問題。如果我們比較注重模型的簡潔性，我們可以選擇更加簡單的模型以降低參數數目。

(2) 模型評估：我們可以使用交叉驗證等技術來評估我們的擬合模型的性能和泛化能力。交叉驗證是一種常用的模型評估技術，在這種方法中，我們將數據集分成多個訓練集和測試集，進行多次實驗，以便評估模型在未知數據上的表現。

(3) 調整參數：我們可以調整參數，以達到更高的擬合精度或更少的參數數目。在調整參數時，我們需要注意過度擬合的問題。當模型的參數數目過多時，我們可能需要使用正則化等技術來消除過度擬合的影響。

% 示例代碼3：使用正弦函數進行擬合
x = linspace(0,10,100)';
y = 5*sin(0.5*x)+2*cos(1.1*x)+0.5*randn(100,1);
fun = @(a,x) a(1)*sin(a(2)*x)+a(3)*cos(a(4)*x)+a(5);
x0 = [5,0.5,2,1.1,0];
a_fit = lsqcurvefit(fun,x0,x,y);
% 結果輸出：a_fit = [4.9886, 0.5035, 2.0099, 1.1046, 0.4558]

四、輸出和可視化擬合結果

在完成非線性曲線擬合之後，我們可以輸出擬合結果，以便進一步分析和處理數據。輸出結果通常包括擬合參數、擬合誤差、擬合曲線、殘差等。與此同時，我們還可以使用Matlab自帶的繪圖函數，如plot、scatter等，對擬合結果進行可視化。

% 示例代碼4：繪製擬合結果的散點圖和擬合曲線
x = linspace(0,10,100)';
y = 5*sin(0.5*x)+2*cos(1.1*x)+0.5*randn(100,1);
fun = @(a,x) a(1)*sin(a(2)*x)+a(3)*cos(a(4)*x)+a(5);
x0 = [5,0.5,2,1.1,0];
a_fit = lsqcurvefit(fun,x0,x,y);
% 繪製散點圖
scatter(x,y);
hold on;
% 繪製擬合曲線
plot(x,fun(a_fit,x),'r');
hold off;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('觀測值','擬合曲線');

五、代碼附註

以上示例代碼中的fun函數是我們所定義的需要擬合的非線性函數，該函數需要返回預測值和實際值之間的誤差向量。x、y向量是我們的原始數據，x0向量是擬合函數的起始參數估計。a_fit向量是擬合函數找到的最優參數向量，該向量包含擬合模型中每個參數的最佳擬合值。

需要注意的是，在使用lsqcurvefit函數進行非線性擬合時，我們需要小心選擇起始位置向量x0。如果選擇的起始位置離最終結果很遠，可能會導致函數誤差很大，從而影響擬合效果。