平均場理論及其應用

一、理論概述

平均場理論是一種統計物理學的方法，用於研究大量簡單粒子的集體行為，特別是用於描述相變現象。其基本思想是將相互作用的粒子視為在某一平均場下運動，從而簡化相互作用的處理。因此，平均場理論常被應用於對巨大而複雜的系統的簡化計算。

平均場理論最早由法國物理學家魏爾在1928年提出，並在1936年得到了玻爾茲曼金質獎章的榮譽證明。

二、應用領域

平均場理論已經廣泛應用於各種領域，包括但不限於：

1、低維物理學：在平面、曲面、管狀和球狀幾何中，平均場理論提供了對各種規則和無規則材料的熱和動力學行為的深入了解。

2、材料科學：平均場理論被用於研究金屬、化合物、共價物質和非晶體等不同類型的材料的性質和相變機制。

3、生物物理學：平均場理論可用於分子級的生物學模擬，如蛋白質摺疊、細胞自組織和生物分子相互作用等。

三、公式和算法

在平均場理論中，我們常用以下公式和算法來描述系統：

U = -J∑ijsisj - H∑isi

其中U表示系統的總能量；J表示相互作用強度；s_i和s_j分別表示第i個和第j個自旋；H表示外部磁場的大小；∑_ij表示求和。

def mf_ising_model(J,H):
    N = len(J)
    S = np.random.choice([-1,1], size=(N))
    diff = 1
    while diff>1e-4:
        S_new = np.tanh(J@S + H)
        diff = np.linalg.norm(S_new - S)/N
        S = S_new
    return S

上述算法是用於解決ising模型的平均場計算。其中，J是相互作用矩陣，H是外磁場值，N是自旋數目，S是自旋數組，np.linalg.norm函數用於計算向量範數。

四、實際案例

以ising模型為例，我們可以使用平均場理論預測材料的磁性。下面是使用Python實現的示例代碼：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

J = np.array([[0.5, 0.2], [0.2, 0.1]])
H = np.array([0.3, 0.5])

S = mf_ising_model(J,H)
print(S)

x = np.array([0.3, 0.5])
y = (x*J@S + H@S)/S.size

plt.plot(x, y, 'b-')
plt.xlabel('External magnetic field')
plt.ylabel('Magnetization per spin')
plt.show()

在上述代碼中，我們首先定義了一個ising模型的相互作用矩陣J和外磁場值H。然後，我們使用先前定義的平均場算法模擬材料的磁性，並得到自旋數組S。最後，我們將外磁場值與平均磁化強度繪製在圖形上。

五、總結

平均場理論是一種非常有用的工具，可用於對各種系統的性質和行為進行預測和模擬。通過對平均場理論的深入學習，我們將更好地理解物理學的基本原理，並能夠更加準確地描述和分析各種複雜的現象。