Thompson Sampling：一種多臂賭博問題的解決方案

在許多實際應用中，我們經常需要優化解決方案，但是這些方案並不顯然哪一個更好。如何在不斷試錯的過程中找到最優解決方案，成為了一個長期的挑戰。在這種情況下，多臂賭博問題（Multi-armed Bandit Problem）成為了一種解決方案，其中我們需要在多個選項之間做出選擇，而每個選項各自有一個不同的收益概率。

Thompson Sampling是一種解決多臂賭博問題的方法，它通過置信區間來估計每個選項的收益概率，並基於置信度做出最符合實際的選擇。本文將從理論基礎、應用案例、優缺點等方面詳細介紹Thompson Sampling。

一、理論基礎

在多臂賭博問題中，我們有一個固定大小的集合，稱為arms，並且我們對每個臂都不知道真實情況下的概率p。我們不斷迭代地選擇臂，旨在最小化總體收益。例如，賭徒可能希望選擇最佳的老虎機以獲得最高的獎勵。

Thompson Sampling的核心思想在於，在每次選擇臂之前分配一個置信區間(belief interval)以估計每個臂的真實收益概率。置信區間是指在一定置信度(比如95%)下，真實值可能在估計值的一個區間內。在選擇臂時，Thompson Sampling使用這個置信區間隨機選擇一臂，然後更新置信區間。由於置信區間考慮了uncertainty，所以Thompson Sampling會逐漸選擇能夠最大化總體收益的臂。

下面是Thompson Sampling的算法代碼，其中beta是具有Beta分布的prior($\alpha$,$\beta$)：

1. 初始置信區間設定為beta分布
2. 重複以下步驟：
   1) 針對每個臂，從先前的置信區間中選擇一個sample value;
   2) 根據這些values，選擇最大值的臂.
   3) 選擇所選臂。觀察其成功還是失敗，並更新置信區間。

二、應用案例

Thompson Sampling在實際應用中有很多成功的案例。下面介紹幾個常見的應用場景：

1. 平衡探索與開發

當需要在多個可能方案中選擇最佳方案時，Thompson Sampling是一種有效的平衡探索和開發的方法。在內容推薦系統中，例如在YouTube或Netflix中，這種方法可以平衡探索不同主題、不同用戶之間的差異、不同特徵等而不是僅僅向用戶推薦受歡迎的內容。

2. 自適應試驗設計

在對於新產品或者廣告進行試驗時，選擇樣本時需要考慮三個方面：代表性、隨機性和均勻性。在保證三個方面的前提下，Thompson Sampling可以最大化成功的概率，同時減少測試時間和樣本數量。

三、優缺點

1. 優點

• 對於多臂賭博問題，Thompson Sampling是一種效率比較高的解決方法。如果部分arm的估計值已經比較接近它的真實收益，Thompson Sampling最終會更快地選擇正確的arm。
• 由於其有效性，Thompson Sampling在許多領域有廣泛的應用，如醫學、金融、廣告等。
• Thompson Sampling是一種最小化失敗的策略，同時並不需要大量的學習和調整。因此，它可以快速用作半自動決策的一個組件。