高斯函數的傅里葉變換

一、從高斯函數的傅里葉變換推導

# 定義高斯函數
def gaussian(x, mu=0, sigma=1):
    return 1 / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi)) * \
           math.exp(-1 / 2 * ((x - mu) / sigma) ** 2)

# 定義傅里葉變換
def fourier_transform(func, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    coefs = [complex(func(a + i * h)) for i in range(n)]
    result = []
    for k in range(n):
        sum = 0
        for j in range(n):
            sum += coefs[j] * cmath.exp(-2 * cmath.pi * 1j * j * k / n)
        result.append(sum * h)
    return result

# 計算高斯函數的傅里葉變換
result = fourier_transform(lambda x: gaussian(x), -10, 10, 256)

由於高斯函數是無限可導、連續、且函數值隨着自變量的增大而迅速趨近於0的函數，因此高斯函數的傅里葉變換具有比較特殊的形式。

二、高斯函數的傅里葉變換證明

要證明高斯函數的傅里葉變換，需要用到傅里葉變換的一般公式：

$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i x \xi}dx$$

將高斯函數$f(x)$代入上式：

$$\begin{aligned}\hat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x – \mu)^2 / 2\sigma^2}e^{-2\pi i x \xi}dx \cr &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-[(x – \mu)^2 / 2\sigma^2 + 2\pi i x \xi]}dx \cr &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-[x^2 – 2\mu x + \mu^2 – \mu^2 + 2 i \pi \sigma^2 \xi x + (2\pi i \xi \sigma^2)^2/4] / 2\sigma^2}dx \cr &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x – \mu – i2\pi \xi\sigma^2)^2 / 2\sigma^2}e^{i2\pi \mu\xi}dx \cr &= e^{i2\pi \mu\xi} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x – \mu – i2\pi \xi\sigma^2)^2 / 2\sigma^2}dx \cr &= e^{i2\pi \mu\xi} e^{-2\pi^2 \sigma^4 \xi^2} \cr &= e^{i2\pi \mu\xi – 2\pi^2 \sigma^4 \xi^2}\end{aligned}$$

由此可知，高斯函數的傅里葉變換為：

$$\hat{f}(\xi) = e^{i2\pi \mu\xi – 2\pi^2 \sigma^4 \xi^2}$$

三、高斯函數的傅里葉變換是什麼

高斯函數的傅里葉變換為一個更簡單的高斯函數，這個高斯函數的“中心”在頻率域上，而函數值在時間域上。

四、高斯函數的傅里葉變換的推導過程

高斯函數的傅里葉變換的推導過程已經在第二部分中詳細說明。

五、高斯函數的傅里葉變換圖像

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 計算高斯函數的傅里葉變換
result = fourier_transform(lambda x: gaussian(x), -10, 10, 256)

# 計算頻率域
n = len(result)
freq = np.arange(n) / (n * (b - a))

# 繪製高斯函數及傅里葉變換
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))
axes[0].plot(np.linspace(-10, 10, 512), [gaussian(x) for x in np.linspace(-10, 10, 512)])
axes[1].plot(freq, np.abs(result) ** 2)
plt.show()

運行該代碼可得到以下圖像：

圖中左側為高斯函數，右側為高斯函數的傅里葉變換。

六、高斯函數的傅里葉變換的圖線

高斯函數的傅里葉變換圖線是一條鐘形曲線，如下圖所示：

七、sa函數的傅里葉變換

將sa函數的傅里葉變換視為高斯函數的特例，根據第二部分的證明過程，可知sa函數的傅里葉變換為：

$$\hat{f}(\xi) = e^{-\frac{\pi^2 \xi^2}{2}}\cdot sinc(\pi \xi)$$

其中，$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$。

八、高斯脈衝的傅里葉變換

高斯脈衝是高斯函數的一種特例，當$\sigma$趨近於0時，高斯脈衝趨近於矩形脈衝。由此可知，高斯脈衝的傅里葉變換的形式與矩形脈衝相同。

九、高斯信號的傅里葉變換

高斯信號指的是一組高斯函數在時間軸上的隨時間變化而改變的形式，例如：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定義高斯信號
def gaussian_signal(t, f, sigma):
    return gaussian(t, sigma=sigma) * np.exp(2 * np.pi * 1j * f * t)

# 計算高斯信號的傅里葉變換
result = fourier_transform(lambda x: gaussian_signal(x, 1, 0.5).real, -5, 5, 256)

# 計算頻率域
n = len(result)
freq = np.arange(n) / (n * (b - a))

# 繪製高斯信號及傅里葉變換
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))
t = np.linspace(-5, 5, 512)
axes[0].plot(t, gaussian_signal(t, 1, 0.5).real)
axes[1].plot(freq, np.abs(result) ** 2)
plt.show()

運行該代碼可得到以下圖像：

圖中左側為高斯信號，右側為高斯信號的傅里葉變換。

十、矩形脈衝的傅里葉變換

矩形脈衝是一種理想的信號，可以用高斯函數的極限形式表示。矩形脈衝的傅里葉變換為：

$$\hat{f}(\xi) = sinc(\pi \xi)$$

這裡的$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$。